到三角形各顶点 的距离相等
到三角形各边的 距离相等
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
A
A
A
●O
●O
B
┐
CB
C
锐角三角形的外心位于三角形内,
●O
B
C
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
切线长定理及其推论:
从圆外一点向圆所引的两条切线长
相等;并且这一点和圆心的连线平分
C
四、一个三角形,它的周长为30cm,它的 内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积 为_3_0_c_m__．
七.三角形的外接圆和内切圆：
A
A
O
I
C
B
C
B
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。
三角形外接圆的圆心叫三角形的外心
实质
性质
三角形的外心 三角形三边垂直平分线的交点 三角形的内心
三角形三内角角平分线的交点
C
D 图1
A
O
B
3、 如图2，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的 直径，那么∠BOC等于 ( )；
A．150° B．130° C．120° D．60°
4、在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，
∠BOC=
；若O为△ABC的内心，∠BOC=
．
图2
5、两个同心圆的直径分别为5 cm和3 cm，则圆环部分的 宽度为_____ cm；
A
D
B
●O
┏
A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
⌒⌒
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
• 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是
• 同弧: 所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即 ∠ABC = 1 ∠AOC.
2
A C
A C
A C
●O
●O
●O
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的 角,叫做圆周角.
A
A
O· B
●O
C
B
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两 条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相 等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，易知同圆或等圆的 半径相等。
同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同 心圆 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
等弧应同时满足两个条件：1）两弧的长度相等，
2）两弧的度数相等。
注意：1、直径是弦，而弦不一定是直径； 2、半圆是弧，而弧不一定是半圆； 3、两条等弧的度数相等，长度也相等， 反之，度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧。
C
●O
A
D
切线的性质定理出可理解为
如果一条直线满足以下三个性质中的任任意意两两个个，那么
第三个也成立。①经过切点、②垂直于切线、③经过圆心。
如① ②
③
① ③
②
② ③
做一做：1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4
cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=_____ cm；
2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆
两条切线的夹角.
∵PA,PB切⊙O于A,B
P
1 2
A ●O
∴PA=PB ∠1=∠2
直角三角形的内切圆 半径与三边关系.
r abc. A 2
D
O
●┗
F
┓
B
EC
B 三角形的内切圆半径与圆面积.
S1rabc.
2A
D
F
O
●
┓
B
E
C
• 1.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的 圆心角是＿6＿0度＿,圆周角是＿＿30＿或1＿50＿度＿.
一个三角形的外接圆有几个？ 一个圆的内接三角形有几个？
做一做
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三
角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形
与它的外心的位置关系.
A
A
A
●O
●O
B
┐
CB
C
●O
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
O A
B
2：已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，
如果∠ AOC=140 °，求∠ B的度数． 解：在优弧AC上定一点D，连结AD、 D
CD.
∵ ∠ AOC=140 ° ∴ ∠ D=70 °
O
C
A
∴ ∠ B=180 ° －70 ° =110 ° B
3.平面上一点P到圆O上一点的距离最长为 6cm,最短为2cm,则圆O的半径为__2或__4_cm__.
若∠B=70 °,则 ∠DOE=＿＿40＿°． E
CD B
要会用到解题中
• 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任 何一个外角都等于它的内对角。
几何表达式：
∵ ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠A+∠C=180°
A
D 1
E
且∠B=∠1
B
C
练习:
如图，四边形ABCD为⊙O 的
内接四边形，已知∠BOD＝
一、垂径定理
1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所的两条弧. C
A
B
M└
若 ① CD是直径
●O
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
重视：模型“垂径定理直角三角形”
2、垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
C
A
┗●
M
新华东师大版九年级下数学 圆的复习课件
与圆有关的概念
弦 连接圆上任意两点的线段（如图AC）
叫做弦，
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
B
O·
A
C
弧
圆 为上端任点意 的两 弧点 记间作的A⌒部B 分，叫读做作圆“弧圆弧，简AB称”或弧“．弧以A、B
AB”． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧， 每一条弧都叫做半圆．
6、如图1,已知⊙O，AB为直径，AB⊥CD，垂足为E，由
图你还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写出
来
；
7、为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某
圆柱型水管的直径为100 cm，截面如图2，若管内污水的面宽
AB=60 cm，则污水的最大深度为
cm；
A
C
E
D
O
O
图1
m
n
A
图2
B
B
四、点和圆的位置关系
A
中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，
P
B
O
设AB=12，则两圆构成圆环面积为_____；
3、下列四个命题中正确的是（ ）．
①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； ②垂直于圆的 半径的直线是该圆的切线 ； ③到圆心的距离等于半径 的直线是该圆的切线 ；④过圆直径的端点，垂直于此 直径的直线是该圆的切线．
B
O·
C
劣弧与优弧
小于半圆的弧叫做劣弧. （如图中的A⌒C） 大于半圆的弧叫做优弧.(用三个字母表示,如图中的A⌒CB)
B
O·
A
C
想一想 判断下列说法的正误：
(1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦； (7)等弧就是拉直以后长度相等的弧
B
B B
三、圆周角定理及推论
D
C
C
B
E
●O A
●O
BA
●O
B
A
C
定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,
都等于这弧所对的圆心角的一半. 推论:直径所对的圆周角是 直角 . 90°的圆周角所对的弦是 直径 .
判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等. (×)
(2)相等的圆周角所对的弧相等. (×)
100°，求∠BAD及∠BCD的度
数。
A
O
B
D
C
例题欣赏 A
例 如图，△ABC中,AB=AC, O是BC的
中点,以O为圆心的⊙O切AB于D,问: ⊙O D 与AC相切吗?说明理由.
E
解： ⊙O与AC相切
B
根据连切线接的O性A质, O, D遇,到作切O点E,⊥连A接C 于 E .
半径∵, 这AB是=在A圆C 中，添O加是辅B助C线的的中点，
5、 如图，AB是⊙O的任意一条弦，OC⊥AB， 垂足为P，若 CP=7cm，AB=28cm ，你能帮老师求出 这面镜子的半径吗？
C
7
B
P
14
A
O 综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径
6.如图：AB是圆O的直径，BD是圆O的弦，
B为D什到么C，？AC=AB，BD与CD的大小A有什么关系？
补充：
O
(3) 等弧所对的圆周角相等.
(√)
1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为 60°，OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AB=_____， BC=_____；