ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 23，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为233，O 为坐标原点．
(1)求 E 的方程； (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求 l 的方程．
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【解】 (1)设 F(c,0)，由条件知，2c＝233，得 c＝ 3. 又ac＝ 23，所以 a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故 E 的方程为x42＋y2＝1.
2利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题 的核心是在两个参数之间建立等量关系；
3利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参 数的取值范围；
4利用基本不等式求出参数的取值范围； 5利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.
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（北京高考）已知椭圆 C：ax22＋yb22＝1(a＞b＞0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为 22.直线 y＝k(x－1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N．
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因为 t＋4t ≥4，当且仅当 t＝2，即 k＝±27时等号成立， 且满足 Δ>0.
所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y＝ 27x－2 或 y＝－ 27x－2.
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规律方法 2 在利用代数法解决最值与范围问题时常从 以下五个方面考虑：
1利用判别式பைடு நூலகம்构造不等关系，从而确定参数的取值范 围；
x1＋x22－4x1x2＝4
4k2－3 4k2＋1 .
从而|PQ|＝
1＋k2|x1－x2|＝4
k2＋1· 4k2－3
4k2＋1
.
又点 O 到直线 PQ 的距离 d＝ k22＋1，
所以△OPQ
的面积
S△OPQ＝21d·|PQ|＝4
4k2－3 4k2＋1 .
设 4k2－3＝t，则 t>0，S△OPQ＝t2＋4t 4＝t＋4 4t .
其离心率为 23，故
a2－4 a＝
23，解得
a＝4.
故椭圆 C2 的方程为1y62 ＋x42＝1.
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(2)法一 A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， 由O→B＝2O→A及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 y＝kx. 将 y＝kx 代入x42＋y2＝1 中，得(1＋4k2)x2＝4， 所以 x2A＝1＋44k2. 将 y＝kx 代入1y62 ＋x42＝1 中，得(4＋k2)x2＝16， 所以 x2B＝4＋16k2.
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2019/10/17
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又由O→B＝2O→A，得 x2B＝4xA2 ，即4＋ 16k2＝1＋164k2， 解得 k＝±1.故直线 AB 的方程为 y＝x 或 y＝－x.
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法二 A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， 由O→B＝2O→A及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 y＝kx. 将 y＝kx 代入x42＋y2＝1 中，得(1＋4k2)x2＝4， 所以 x2A＝1＋44k2.
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法二 A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， 由O→B＝2O→A及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 y＝kx. 将 y＝kx 代入x42＋y2＝1 中，得(1＋4k2)x2＝4， 所以 x2A＝1＋44k2.
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由O→B＝2O→A，得 x2B＝1＋164k2，y2B＝11＋6k42k2. 将 x2B，y2B代入1y62 ＋x42＝1 中，得14＋＋4kk22＝1，即 4＋k2＝1 ＋4k2， 解得 k＝±1.故直线 AB 的方程为 y＝x 或 y＝－x.
椭圆中的相交弦问题
化州市第一中学 张海玲
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一、直线与椭圆的位置关系的判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于
x(或 y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或 ay2＋by＋c＝0)．
可考虑一元二次方程的判别式 Δ，有
①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相___交_； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相___切_； ③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线_相__离___
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考向三 综合应用
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已知椭圆 C1：x42＋y2＝1，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴， 且与 C1 有相同的离心率．
(1)求椭圆 C2 的方程； (2)设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1 和 C2 上，O→B ＝2O→A，求直线 AB 的方程．
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【解】 (1)由已知可设椭圆 C2 的方程为ya22＋x42＝1(a>2)，
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举一反三 1 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)
为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线
OA 与 l 的距离等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
二、圆锥曲线的弦长
设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A、B 两
点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝_1_＋__k_2|_x2_－__x_1_| ＝ －y1|.
1＋k12|y2
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考向二 [144] 最值与范围问题 (2014·课标全国卷Ⅰ)已知点 A(0，－2)，椭圆 E：
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(2)当 l⊥x 轴时不合题意， 故设 l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 将 y＝kx－2 代入x42＋y2＝1 得 (1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 当 Δ＝16(4k2－3)>0 时，则 k2>34， x1＋x2＝1＋164kk2，x1x2＝1＋124k2.
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∴|x1－x2|＝
(1)求椭圆 C 的方程； (2)当△AMN 的面积为 310时，求 k 的值．
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规律方法 直线与椭圆相交问题解题策略 当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数 的关系”设而不求计算弦长；涉及求过定点的弦中点的轨迹 和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法” 设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐 标联系起来，相互转化.其中，判别式大于零是检验所求参数 的值有意义的依据.