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第二章 圆锥曲线与方程
[题后感悟] 求椭圆标准方程的一般步骤为：
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第二章 圆锥曲线与方程
1.(1)已知椭圆的焦点 F1(－4,0)，F2(4,0)，且过点
A4，95，求椭圆的标准方程．
x2 y2 1 25 9
(2)求以椭圆 9x2＋5y2＝45 的焦点为焦点，且经过
x2 y2 1 25 16
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第二章 圆锥曲线与方程
2．椭圆的定义的应用 (1)应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为数 学问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角 形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利 用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．
(2)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)， 在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体或者配方等
（3）
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第二章 圆锥曲线与方程
已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9. 动圆在圆C1内部且与圆C1相内切，与圆C2相外切，求动圆圆
心的轨迹．
动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相 外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式，可求出 动圆圆心的轨迹方程，进而确定出轨迹图形．
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第二章 圆锥曲线与方程
①式两边平方，得 |PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20③ ③－②，得(2＋ 3)|PF1|·|PF2|＝16， ∴|PF1|·|PF2|＝16(2－ 3)， ∴S△PF1F2＝21|PF1|·|PF2|·sin 30°＝8－4 3.
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第二章 圆锥曲线与方程
方程中a、b的值，从而确定方程，有时方程有两个．
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第二章 圆锥曲线与方程
如果明确焦点在 x 轴上，那么设所求的椭圆方程为 xa22＋by22＝1(a＞b＞0)． 如果明确焦点在 y 轴上，那么设所求的椭圆方程为 ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)． (2)如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在 x 轴上还是在 y 轴上，那么方程可以设为 mx2＋ny2＝1(m ＞0，n＞0，m≠n)，进而求解．
解答本题可先根据焦点位置设出相应方程，
再利用a，b，c的关系求出待定系数得椭
圆方程．
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第二章 圆锥曲线与方程
(1)因为椭圆的焦点在 y 轴上， 所以设它的标准方程为ya22＋xb22＝1(a＞b＞0)． 因为 2a＝26,2c＝10，所以 a＝13，c＝5. 所以 b2＝a2－c2＝144. 所求椭圆方程为1y629＋1x424＝1.
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第二章 圆锥曲线与方程
练考题、验能力、轻巧夺冠
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第二章 圆锥曲线与方程
[题后感悟] 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F2 构成的△F1PF2 称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点 三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦 定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若 已知∠F1PF2，可利用 S＝21absin C 把|PF1|·|PF2|看成一 个 整 体 ， 运 用 公 式 |PF1|2 ＋ |PF2|2 ＝ (|PF1| ＋ |PF2|)2 － 2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求 出，这样可以减少运算量．
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第二章 圆锥曲线与方程
解析： 设椭圆方程为xa22＋yb22＝1， ac＝ 22，故 ba22＝12.
由于△ABF2 的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋ |AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故 a＝4.
∴b2＝8. ∴椭圆 C 的方程为1x62＋y82＝1.
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第二章 圆锥曲线与方程
[题后感悟] 解答与椭圆相关的求轨迹问题 的一般思路是
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第二章 圆锥曲线与方程
4.已知B，C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周 长等于16，求顶点A的轨迹方程．
解析： 如图所示，建立坐标系，使x轴经过点B， C，且原点O为BC的中点，由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝ 16，|BC|＝6，有|AB|＋|AC|＝10>6，所以A的轨迹为椭 圆
2．2.1 椭圆及其标准方程
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第二章 圆锥曲线与方程
椭圆应该包含3个要素
（1）在平面内 （2）到两定点F1，F2的距离等于定长2a （3）定长2a﹥|F1F2|工具第二章 圆锥曲线与方程
复习导入
标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
xa22＋by22 ＝1(a＞b＞0) ya22＋bx22 ＝1(a＞b＞0)
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第二章 圆锥曲线与方程
◎已知椭圆的标准方程为2x52 ＋my22＝1(m＞0)，并且 焦距为 6，求实数 m 的值．
当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进 行分类讨论
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第二章 圆锥曲线与方程
【正解】 ∵2c＝6，∴c＝3. 当椭圆的焦点在 x 轴上时，由椭圆的标准方程知 a2＝25， b2＝m2，a2＝b2＋c2，得 25＝m2＋9， ∴m2＝16，又 m＞0，故 m＝4. 当椭圆的焦点在 y 轴上时，由椭圆的标准方程知 a2＝m2， b2＝25，a2＝b2＋c2，得 m2＝25＋9＝34， 又 m＞0，故 m＝ 34. 综上，实数 m 的值为 4 或 34.
答案： D
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第二章 圆锥曲线与方程
2．椭圆2x52＋y2＝1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则
点 P 到另一个焦点的距离为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
解析： 由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10 －2＝8.
答案： D
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第二章 圆锥曲线与方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26. (2)求焦点在坐标轴上，且经过 A( 3，－2)和 B(－2 3， 1)两点．
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第二章 圆锥曲线与方程
如图所示，点 P 是椭圆y52＋x42＝1 上的一点，F1 和 F2 是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2 的面积．
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第二章 圆锥曲线与方程
[解题过程] 在椭圆y52＋x42＝1 中，a＝ 5，b＝2， ∴c＝ a2－b2＝1. 又∵P 在椭圆上， ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5① 由余弦定理知：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 30° ＝|F1F2|2＝(2c)2＝4②
第二章 圆锥曲线与方程
x2 y2 如图所示，已知 F1，F2 是椭圆100＋36＝1 的两个焦点．
(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)过 F1 作直线与椭圆交于 A，B 两点，试求△ABF2 的周
长．
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第二章 圆锥曲线与方程
[解题过程] (1)由1x020＋3y62 ＝1 得 a2＝100，b2＝36， 于是 a＝10，c＝ a2－b2＝ 100－36＝8， 所以椭圆的焦点坐标为 F1(－8,0)，F2(8,0)． (2)△ABF2 的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2| ＝(|AF1|＋|BF1|)＋|AF2|＋|BF2| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)， 由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， 故|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝40.
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第二章 圆锥曲线与方程
[解题过程] 由已知可得圆C1与圆C2的圆心坐标与半径分别 为C1(4,0)，r1＝13；C2(－4,0)，r2＝3.
设动圆的圆心为C，其坐标为(x，y)，动圆的半径为r.
由于圆C1与圆C相内切，依据两圆内切的充要条件， 可得|C1C|＝r1－r① 由于圆C2与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件， 可得|C2C|＝r2＋r.②
灵活应用．
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第二章 圆锥曲线与方程
3．利用待定系数法确定椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程常用待定系数法，要恰当地选择 方程的形式，如果不能确定焦点的位置，那么有两种 方法来解决问题，一是分类讨论全面考虑问题；二是 设椭圆方程一般式．
(1)如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴 上，那么所求的椭圆一定是标准形式，那么可以利用 待定系数法首先建立方程，然后依照题设条件，计算
如图所示，由①＋②可得
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第二章 圆锥曲线与方程
|CC1|＋|CC2|＝r1＋r2＝13＋3＝16. 即点C到两定点C1与C2的距离之和为16，且|C1C2|＝8，可得 动点C的轨迹为椭圆，且以C1与C2为其焦点． 由题意得c＝4，a＝8， ∴b2＝a2－c2＝64－16＝48.
∴椭圆的方程为6x42＋4y82 ＝1. ∴动圆圆心的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆，其方程 为6x42＋4y82 ＝1.
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第二章 圆锥曲线与方程
（2） 方法一：设焦点分别在 x 轴与 y 轴上的标准方程，在将两点 带入方程 方法二：设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)．
由题意得312mm＋＋4nn＝ ＝11， ， 解得mn＝＝1511.5， 所以所求椭圆的方程为1x52 ＋y52＝1.
点 M(2， 6)的椭圆的标准方程． x 2 y 2 1 12 8
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第二章 圆锥曲线与方程
(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，c:a 为 22.过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且△ABF2 的周长为 16， 那么 C 的方程为________．
焦点
a、b、c 的关系
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
c2＝a2－b2
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