二、三重积分的计算技巧重积分的计算中，对积分区域的熟悉非常重要，以下关于重积分的几种计算技巧均是基于积分区域的特点分析归纳得出。

一、积分区域为圆（二重积分）或球（三重积分）1、 在闭区域D 为222a y x ≤+的圆，区域关于原点，坐标轴均对称，则有（1）dxdy y dxdy x a y x a y x ⎰⎰⎰⎰≤+≤+=22222222（2）若n m ,中有一个为奇数有.0222=⎰⎰≤+dxdy y xa y x m n例1．求dxdy y x a y x ⎰⎰≤++222)3(22 解：根据对称性，原式=dxdy y x a y x ⎰⎰≤++222)(222=.242003a dr r d aπθπ=⎰⎰ 例2．求dxdy y x a y x 2222)3(⎰⎰≤++解：原式=.25)(5)69(42222222222a dxdy y x dxdy xy y x a y x a y x π=+=++⎰⎰⎰⎰≤+≤+ 例3．求.)53(22222dxdydz z y x a z y x ⎰⎰⎰≤++++（积分区域为球） 解：原式=.)10306259(2222222dxdydz xz yz xy z y x a z y x ⎰⎰⎰≤+++++++ =.32854.335.)(335552222222a a dxdydz z y x a z y x ππ==++⎰⎰⎰≤++2、 在闭区域D 为222)(a y a x ≤+-的圆上例4．求dxdy xa y a x ⎰⎰≤+-222)(解：原式=.)(32)(222a dxdy a a x a y a x π=+-⎰⎰≤+-例5．求dxdy x a y a x ⎰⎰≤+-222)(2解：原式=dxdy a a x a y a x 2)(222)(⎰⎰≤+-+-==+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+-≤+-≤+-dxdy a dxdy a x a dxdy a x a y a x a y a x a y a x 222222222)(2)(2)()(2)(.454a π 3、 在闭区域D 为222)()(c b y a x ≤-+-的圆上(处理方法同2)二、积分区域的对称（化重积分为累次积分） 1、区域关于坐标轴对称例6．区域D 由12==y x y 与围成，求.)(222dxdy y x xyD⎰⎰+解：原式=dy y x dx dxdy y x x D⎰⎰⎰⎰-=11122222.=.274 2、区域关于x y =对称，D x y D y x ∈∈),(,),(，有.),(),(⎰⎰⎰⎰=DDdxdy x y f dxdy y x f例7．求⎰⎰-Ddxdy yx xy.)(22其中区域D 为222a y x ≤+，0,0≥≥y x解：原式=⎰⎰-Ddxdy yx yx .)(22=0. 例8．⎰⎰+Ddxdy yx xy .)3(22其中区域D 为222a y x ≤+，0,0≥≥y x 解：原式=dxdy xyD⎰⎰24=rdr r r d aθθθπ2202sin cos 4⎰⎰=θθθπsin sin 4225d r d a⎰⎰=692a例9.求.)()()()(dxdy y x y b x a D⎰⎰++ϕϕϕϕ其中区域D 为222a y x ≤+，)(x ϕ为正值连续函数。

解：根据对称性可知dxdy y x y b x a D ⎰⎰++)()()()(ϕϕϕϕ=.)()()()(dxdy y x y a x b D⎰⎰++ϕϕϕϕ 则由2dxdy y x y b x a D ⎰⎰++)()()()(ϕϕϕϕ=dxdy b a D⎰⎰+)(=.)(2R b a +π故原式等于.)(212R b a +π例10.若函数)(x f 在区间[0,1]上连续，并且⎰=1.)(A dx x f 求⎰⎰11)()(xdy y f x f dx解：若)()(),(y f x f y x F =则有),(),(x y F y x F =则2⎰⎰11)()(xdy y f x f dx =⎰⎰ydx y f x f dy 01)()(+⎰⎰11)()(xdy y f x f dx=⎰⎰11)()(dy y f dx x f =2A则⎰⎰110)()(xdy y f x f dx 的值为.22A 三、形如dxdy y x a y x ⎰⎰≤++222)(22或.2222222dxdydz z y x a z y x ⎰⎰⎰≤++++积分的相关运算，化重积分为定积分（利用极坐标或球面坐标）。

dxdy y x a y x ⎰⎰≤++222)(22=⎰⎰⎰=aardr r f dr r f d 020)(2)(πθπdxdydz z y x a z y x ⎰⎰⎰≤++++2222222=dr r r d d aϕϕθππsin .02200⎰⎰⎰=dr r r f a20)(4⎰π例11.令)(a g =dxdy y x a y x ⎰⎰≤++222)(22,求.)(lim 20aa g a → 解：20)(lim a a g a →=).0(2)(2lim 0f aaa f a ππ=→例12．令)(a g =dxdydz z y x a z y x ⎰⎰⎰≤++++2222222,求.)(lim30aa g a → 解：30)(lim a a g a →=).0(343)(4lim 220f a a a f a ππ=→例13．若)(a g =dxdy y x a y x ⎰⎰≤++222)(22，1)0(,0)0(='=f f ，求.)(lim 30aa g a +→ 解：20303)(lim )(lim aa g a a g a a '=++→→ =ππ323)(2lim20=+→a a a f a .32)0()(lim π=-+→a f a f ax 四、固定变量替换（利用图形寻找合适的变量替换）例14．求.)cos(2dxdy y x e y x y x +⎰⎰≤+-π解：令则有.,v y x u y x =-=+2v 2-,2u 2-ππππ≤≤≤≤2,2v u y v u x -=+=.则可算出雅克比行列式.21=J 则原式=222222cos 2121cos ππππππ---'-==⋅⎰⎰⎰⎰e e udu dv e dudv u e v D v五、用正交变换计算重积分用正交变换的方法计算重积分，在很多求重积分的题目中会有意想不到的便利。

正交变换（其几何意义为坐标轴的旋转）计算重积分的方法是一种特殊的变量替换。

例15. 将⎰⎰≤++222)(t y x dxdy by ax f 化为定积分解：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x b a b a bba a v u 112222，则有u=,22b a by ax ++u b a by ax 22+=+则⎰⎰≤++222)(22t v u dudv u b a f =dv u b a f duttu t u t ⎰⎰----+2222)(22=du u t u b a f tt2222)(2-+⎰-对于dxdydz cz by ax f t z y x ⎰⎰⎰≤++++2222)(利用正交变换后222cb a cz by ax u ++++=，则有u c b a cz by ax222++=++，则有：dxdydz cz by ax f t z y x ⎰⎰⎰≤++++2222)(=dudvdw u c b a f t w v u ⎰⎰⎰≤++++2222)(222=dudw u c b a f duttu t w v ⎰⎰⎰--≤+++2222)(222=.)()(22222du u t u c b a f tt-++⎰-π例16.求dxdydz z y x z y x 81222)(⎰⎰⎰≤++++解：原式=du u u )1()3(2811-⎰-π=du u u ⎰--11108)(81π=1136π.。