练习(教材30页)一．按照不确定度及有效数字规定，改正以下错误，并指出各为几位有效数字？（１）0025.00001.1± 改为；1.000±0.002 4位 （２）045.0575.2± 改为：2.58±0.04 3位 （３）mm cm 28028= 改为：28cm=2.8×10 2mm 2位 （４）149917501± 改为：（1.8±0.1）×10 4 2位 （５）5310510840.1--⨯±⨯ 改为：（1.84±0.05）×10-3 3位 注意：1、测量结果的正确表示：测量不确定度一般取一位有效数字，且测量结果的有效数字的最后一位应与测量不确定度所在位对齐（如上题（1）改正后的表示）2、有效数字位数取舍时遵循：“四舍五入，尾数凑偶”的原则（如（2）改后表示）。

3、有效数字位数与十进制单位无关,，故（3）题转换单位后仍为2位有效数字。

4、除测量结果正确表示之外，对较大、较小得数采取科学计数法。

二．按有效数字运算法则，计算下列各题。

3.1754.98)1(+5.250.107)2(-5.6799)3(⨯30.11956.02598)4(⨯ 65.41815sin )5(/000.10)00.7700.78()412.46.5(0.100)6(⨯-+⨯解：有效数字运算规则：间接测量量结果的有效数字最终应由测量不确定度的所在位来决定。

这是有效数字运算的基本原则。

若进行有效数字的简化运算，其规则见课本23页，若不进行简化运算，按基本原则运算，则应如下进行：（1）令x=98.754,y=1.3 则u x =0.001,u y =0.1 N=x+y 故：1.01.0001.02222≈+=+=y x N u u u∴98.754+1.3=100.1（2）107.50-2.5=105.0 过程同（1）（3）令x=799,y=6.5,N=xy 则u x =1,u y =0.1015.0)()(22=+=yu x uN u y x N u N =N ×0.015=8×10 故799×6.5=5.19×103（4） 过程同（3）z y xN ⋅=008.0)()()(222=++=zu y u x u N u z y x N∴u N =N ×0.008=8×10 ∴410022.130.11956.02598⨯=⨯（5） 令'1815sin )(ox f =,y=4.65 则其中u x =1′,u y =0.01 其中注意：要将1’化为弧度。

即u x =1′=0.0003,∵y x f N )(= ∴0023.0)())()((22'=+=yu x f u x f N u y x N∴u N =N ×0.0023=0.0001 ∴2'1067.565.41815sin -⨯=o （6） 令x=100.0,y=5.6+4.412,z=78.00-77.00,w=10.00则u x =0.1 , u y =0.1, u z =0.01, u w =0.001 w z yx N ⋅⋅=07.0)()()()(2222≈+++⋅=wu z u y u x u N u w z y x N ∴00.10000.10)00.7700.78()412.46.5(0.100=⨯-+⨯三．用米尺测得正方形一边的边长为01.21=a cm ，00.22=a cm ，04.23=a cm ，98.14=a cm ，97.15=a cm ，求正方形面积和周长的平均值，不确定度。

并写出测量结果表达式。

解：cm a a a a a a 00.2)(5154321=++++=cm k k a au ia a 01.0)1()(2≈--=∑ cm u b a 03.03/=∆=仪故cm u a 03.003.001.022=+=2a S =Θ a L 4= cm u u cm u a u a l a s 1.04,1.02===⋅=∴所以 cm S 1.00.4±= %5.2=s E ， cm L 1.00.8±= %2.1=l E注意：间接测量的结果不能利用∑==ki i X k X 11取平均值，它只能由直接测量结果的平均值，根据传递公式计算得出。

即∑=≠5151i i S S四．一个铅圆柱体，测得其直径为()001.0040.2±=d cm ，高度()01.012.4±=H cm ，质量()05.018.149±=m 克，计算铅密度ρ，及其不确定度p u 并表示出最后结果。

解：3208.114m g H d m ==πρ %26.0222≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴H u d u m u u H d m ρρ03.00026.0=⨯=ρρu 故()303.008.11m g±=ρ %26.0=ρE五．利用单摆测重力加速度ｇ，摆的周期Ｔ＝２秒，测量摆长相对误差0.05%，用秒表测量时间的误差1.0=∆T 秒，如果要求测量结果ｇ的相对误差小于0.1%，则测量时至少要数多少个周期摆动？解：单摆周期公式：glT π2= 故224T l g π=根据均分原则 %1.0'2<+==T u l u gu E T l g g 已知：%05.0=lul 则Tu T'2<0.05% → T u '<0.0005秒 因为用秒表计时时，无论多少个周期掐表的动作所带入的误差是相同的。

故采取延展法使秒表计时的不确定度降低，即1.0'=⋅T u n 秒 由此得到0005.01.0<n→ n>200次 六．指出下列情况属于偶然误差，还是系统误差？１．米尺刻度不均匀；２．米尺因温度改变而伸缩； ３．天平未调水平； ４．游标卡尺零点不准；５．实验系统温度与环境不一致产生散热；６．加热丝的电阻随温度变化对热功率带来的误差； ７．视差；８．检流计的零点漂移； ９．电表接入误差；１０．电网电压的变化对加热功率带来的误差。

答：1包含系统和偶然两种误差，2、3、4、5、6、9为系统误差，7、8、10为偶然误差。

注意：系统误差和偶然误差在一定条件下是可以相互转化的，例如1题所说，如固定从尺的端面测量某一物体长度时，会产生系统误差（仪器本身不完善），若用仪器不同部位多次测量又会把刻度不均匀的误差偶然化（随机化）。

故系统误差和偶然误差不是绝对区分的，只有一般原则可遵循：那就是系统误差和偶然误差的定义，如系统误差满足确定性，偶然误差满足随机性。

七．写出下列函数的不确定度表达式z y x N 2.1-+=()22222242z y x z y x N u u u u u u u ++=-++=vu uvf +=.222222222)11()11()ln ()ln (v u v u f u vu v u v u u u v f u u f fu +-++-=∂∂+∂∂=ld l f 4.322-=22222222222222)2())(()ln ()ln (d l d l fu dl d u d l l d l u d f u l f f u -+-+=∂∂+∂∂= )2sin()2)(sin(.4A A n +=δ 通过三角运算可得：2cos 22sin δδ+⋅=A ctg n 22222222)2sin 2cos 2()2csc 2(sin 21)()(δδδδδδu A ctg u A u n u A n u A A n -+=∂∂+∂∂=Hd D m)(4.522-=πρH d D m ln )ln(ln ln 4ln ln 22----+=πρ22222222)2()2()()(dD du d D DuH u m u u d D H m -+--+-+=ρρ提示：对具体间接测量量的表达式求Nu u NN 或都可以，看哪一个求解方便，就先求哪一个，结果是一样的。

八．要测量电阻Ｒ上实际消耗的功率Ｐ，可以有三种方法，它们分别是IU P =，R U P 2=，R I P 2=。

假若限定仪器条件只能用0.5Ｖ级电压表、1.0级电流表和0.2级电桥分别测量电压、电流和电阻，试选择测量不确定度最小的测量方案（单次测量，不计电表内阻的影响）。

解：按最佳仪器搭配原则有(1).P=IU 时UI P UI P ∆+∆=∆ (2).P=U 2/R 时RU P R U P ∆+∆=∆2 (3).P=I 2R 时RI P R I P ∆+∆=∆2 利用表的准确度等级：在规定工作条件下使用该电表测量，其测量值的最大基本误差为%k A m Xm ⋅±=∆其中A m 为量程，k%为表的准确度等级故在不知电阻值及电源电压情况下，以及正确选择表的量程（尽量使用测量值接近表的量程）的情况下有：(1).%5.1%5.0%0.1=+≥∆PP(2).%2.1%2.0%5.02=+⨯≥∆PP(3).%2.2%2.0%0.12=+⨯≥∆PP故选择P=U 2/R 测量会使测量不确定度最小。

练习（教材41页）一、测得某二极管的正向压降随温度线性变化的数据如下：（1）根据以上数据作U —T 关系图，并求出此二极管正向压降的温度系数ｂ（关系式Ｕ＝ａ＋b T ）。

（2）上面数据能否用逐差法处理？试用逐差法算出温度系数ｂ 解：（1） 故：91.2170215)472603(-=---=b mv/k（2）观察实验数据，满足用逐差法处理的两个条件，可用逐差法处理列表如下：T以上等间隔（5）逐差求出五个对应于温度T 增加75k 的电压变化量ΔU,然后取平均得到：)(222)(51515mv U U U i i i =-=∑=+T b U ∆=∆ 故)(96.2k mv TUb =∆∆=此结果相当于利用数据点连了五条直线分别求出每条直线的斜率再取平均值，可减小实验中的一些误差影响。

由于ΔT 的误差可忽略，b 的误差主要来源于ΔU ，因此b 的测量不确定度为：mv k k U Uu i iu A 2)1()(51=-∆-∆=∑=∆ mv u u u B 6.03/=∆=∆∆故 )(26.0222mv u u ≈+=∆ )/(03.075k mv u u u b ==∆ %1≈=buE b b 所以 )/(03.096.2k mv b ±=，%1=b E由单次逐差可发现，T,U 满足线性关系并不太好，数值波动较大，反映了二极管温度效应对电压影响较大。