在进行一元线性回归之前应先求出 r 值，再与 r 0 比较，若|r|> r 0 ，则 x 和 y 具有 线性关系，可求回归直线；否则反之。
Ⅱ 基本概念与数据处理
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例 9：灵敏电流计的电流常数Ki和内阻Rg的测量公式为 R2 =
Rs U − R g 测得的 K i R1 d
数据同例 7，其中间处理过程如下，试用最小二乘法求出Ki和Rg，并写出回归方程的表达 式。 解：测量公式与线性方程表达式 y＝a+bx 比较：
– 26 –
Ⅱ 基本概念与数据处理
4.最小二乘法线性拟合
我们知道，用作图法求出直线的斜率 a 和截据 b，可以确定这条直线所对应的经验 公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分 散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据 处理方法， 求出的 a 和 b 误差较大。 用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同 一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率 a 和截据 b 是唯一的。 最小二乘法就是将一组符合 Y=a+bX 关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的 a 和 b。显然，关键是如何求出最佳的 a 和 b。 (1) 求回归直线 设直线方程的表达式为：
∑ x ]：数据和 ∑ x ]: 数据平方和
2
[INV][S]：测量列的标准偏差 [INV][n]：数据个数 例 10：一组等精度测量值为：83.1、83.3、83.3、83.7、83.9、83.6、83.4、83.4、 83.1、83.2，试求 x 、 解： 按 键 显 ST1 n n n n n n n 示 0 0 1 2 3 4 5 6 7 [MODE][0] [INV][ON/C.CE] 83.1[DATA] 83.3[DATA] 83.3[DATA] 83.7[DATA] 83.9[DATA] 83.6[DATA] 83.4[DATA]
D = ∑ d i2 ＝ D = ∑ d i2 = ∑ [ y i − a − bi ] 2
i =1
i =1 i =1
n
n
n
(2-6-2)
D 对 a 和 b 分别求一阶偏导数为：
n n ∂D = −2[∑ yi − na − b ∑ xi ] ∂a i =1 i =1 n n n ∂D 2 = −2[∑ xi y i − a ∑ xi − b ∑ xi ] ∂b i =1 i =1 i =1
注：当 n≥6 时，认为 σ ＝S 。 （2）最小二乘法求回归直线 ① 求回归直线参量 a、b、r 的计算器运行公式 由(2-6-6)、(2-6-7)、(2-6-11)式得到以下只含xi、yi两个变量的公式：
a=
n
∑ y i − b∑ xi
i =1 i =1
n
n
n
n n
b=
∑ xi ∑ y i − n ∑ xi y i
显然最好测量点都在直线上（即d1=d2=……=dn=0） ，求出的a和b是最理想的，但测量 点不可能都在直线上，这样只有考虑d1、d2、……、dn为最小，也就是考虑d1+d2+……+dn 为最小，但因d1、d2、……、dn有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d1|+ 2 2 2 |d2|+……+ |dn|又不好解方程，因而不可行。现在采取一种等效方法：当d1 +d2 +……+dn 2 2 2 对a和b为最小时，d1、d2、……、dn也为最小。取（d1 +d2 +……+dn ）为最小值，求a和b 的方法叫最小二乘法。 令
∑ x 、 ∑ x 、S、n 。
2
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Ⅱ 基本概念与数据处理
83.4[DATA] 83.1[DATA] 83.2[DATA] [INV][ x ]
n n n 83.4 834 69556.22
8 9 10
∑x] [INV][ ∑ x ]
[INV][
2
[INV][S] [INV][n]
0.262466929 10
在处理数据时，不同的计算器的编程方式各不相同，下面以震旦 AURORA SC180 型 计算器为例作以介绍。 （1）计算标准偏差 S ① 标准偏差 S 的计算器运行公式：
s=
1 ( xi − x) 2 = ∑ n − 1 i =1
n
∑x
i =1
n
2 i
− 2 x ∑ xi + ∑ x
i =1 i =1
y = a + bx
(2-6-1)
要根据测量数据求出最佳的a和b。对满足线性关系的一组等精度测量数据（xi，yi） ， 假定自变量xi的误差可以忽略，则在同一xi下，测量点yi和直线上的点a+bxi的偏差di如下：
d1 = y1 − a − bx1 d 2 = y 2 − a − bx 2
M d n = y n − a − bx n
300.0 2.15 9.000 4.62 6.45
250.0 1.82 6.250 3.31 4.55
200.0 1.51 4.000 2.28 3.02
150.0 1.18 2.250 1.39 1.77
100.0 0.84 1.000 0.71 0.84
50.0 0.56 0.250 0.31 0.28
Ⅱ 基本概念与数据处理
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[INV][r]：相关系数 还可以取以下值： [INV][ x ]、[INV][ y ]、[INV][Σx]、[INV][Σx ]、[INV][Σy]、[INV][Σy ]、
2 2
[INV][Σxy]， 以便计算 σ y 、 σ a 、 σ b (计算器没有该三项的计算程序)。 例 11： 灵敏电流计实验所测数据如下： RS＝0.100Ω R1＝4350.0Ω R2（Ω） U（V） 400.0 2.82 350.0 2.49 300.0 2.15 250.0 1.82 d＝40.0mm 200.0 1.51 150.0 1.18 100.0 0.84 50.0 0.56
ΔK i σ b ＝ ＝0.81％； K b
σ b ＝1.257626418
ΔK ＝0.03×10 A/mm
－9
Rg＝(33±2)Ω
ΔR g Rg
－9
＝6.1％
电流常数： 回归方程：
K ＝(3.72±0.03)×10 A/mm R2＝155U－33
ΔK i ＝0.81％ K
5.计算器在数据处理中的应用
n
n
2
n −1
因为
x=
1 n ∑ xi n i =1
Ⅱ 基本概念与数据处理
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所以
s=
∑x
i =1
n
2 i
−
(∑ xi ) 2
i =1
n
n
n −1
（只有为xi单变量）
② 操作步骤和方法 (ⅰ) 按[MODE][0]键，计算器进入单变量统计计算状态。屏右上角显示“STAT1” 指示符。 (ⅱ) 清除内存数据：按[INV][ON/C.CE]键。 (ⅲ) 数据输入：依次先键入数值，然后按[DATA]键，每完成一次输入的同时，屏 幕均会显示数据的个数 n 值。 (ⅳ) 数据修正：按[DATA]键之前，要删除错误数据，按[ON/C.CE]；按[DATA]键后 要删除错误数据，再次输入该错误值，然后按[INV][DEL]。 (ⅴ) 取分析结果： [INV][ x ]：平均值 [INV][ [INV][
225.0 1.67125 6.375 3.34625 4.615625
R
2 4 2 2 (10 Ω )
2 2
U (V ) R2U(10 ΩV)
2
中间过程可多取位：
x ＝1.67125
相关系数
y ＝225.0
x 2 ＝3.34625 xy − x y
y 2 ＝6.375×104
xy ＝461.5625
1
2
σy
(2-6-9)
σb =
n n∑ x − ( ∑ xi )
i =1 2 i i =1 n n 2
σy =
n( x 2 − x )
2
σy
(2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ6-10)
(3)相关系数 相关系数是衡量一组测量数据xi、yi线性相关程度的参量，其定义为：
r=
2
xy − x y ( x − x )( y − y )
2 2 2
y = R2
x =U
b=
Rs K i R1 d
a = − Rg
数据处理如表 2-6-3： 表 2-6-3
i 1 2
Rs＝0.100Ω
3 4
R1＝4350.0Ω
5 6 7
d＝40.0mm
8 平均值
R2(Ω) U(V)
400.0 2.82 16.00 7.95 11.3
350.0 2.49 12.25 6.20 8.72
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Ⅱ 基本概念与数据处理
Rs = b ＝154.6192304 K i Ri d
Ki＝ 计算标准差为：
Rs -9 ＝3.7170×10 A/mm bRi d
σ y ＝2.64561902；
计算不确定度： ΔRg＝ σ a ＝2Ω； 测量结果表达式 电流计内阻：
σ a ＝2.300545589；
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Ⅱ 基本概念与数据处理
σy =
∑ d i2
i =1
n
n−2
n
=
∑(y
i =1
n
i
− bxi − a) 2 n−2
(2-6-8)
(根式的分母为 n-2,是因为有两个变量)
σa =