t0
t0 t

s
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s).
当时间间隔t 逐渐变小时,平均速度 v就越接近
t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)
瞬时速度
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物 体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规 律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是
lim
x0
f x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
导数的概念
设函数 y = f(x) 在点 x=x0 的附近有定义，当自变量 x 在 x0 处
取得增量 △x ( 点 x0 +△x 仍在该定义内）时， 相应地函数 y 取
得增量 △y = f (x0 +△x)- f (x0 )，若△y与△x之比当 △x→0的极
t
2
(1) 将 t=0.1代入上式，得
O s(2)
v 2.05g 20.09(m / s) (2) 将 t=0.01代入上式，得
s(2+t) s
v 2.005g 19.65(m / s)
( 3) 当t 0,2 t 2
平均速度 v 的极限为:
v lim v lim s 2g 19.6(m / s)
0.001 -13.1049
-0.0001 -13.009951 0.0001 -13.10049
-0.00001 -13.099951 0.00001 -13.100049
高台跳水 h(t) 4.9t 2 6.5t 10
v h h(t t) h(t)
t
t
v(2) lim h(2 t) h(2)
时刻的速度．
表示时间)，求物体在
t0
如 图 设 该 物 体 在 时 刻 t0 的 位 置 是 ｓ (t0) ＝ OA0 ， 在 时 刻 t0
+t 的位置是s(t0+t) ＝OA1，则从 t0 到 t0 +t 这段时间内， 物体的 位移是
s OA1 OA0 s(t0 t ) s(t0 )
在时间段( t0+t)－ t0 = t 内，物体的平均速度为:
v s(t0 t) s(t0 ) s
t0 t t0
t
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物 体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规 律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是 物体在t 到 t+t 这段时间内，当 t0 时平均速度 ．
v 的极限．即
v s lim s(t t) s(t)
V2 V1
x2 x1
设某个变量 f 随 x 的变化而变化，
从 x 经过 △x ， 量 f 的改变量为
f f (x x) f (x)
量 f 的平均变化率为
f f (x x) f (x)
x
x
令 x 0，则得到f 在x 的（瞬时）变化率：
lim f lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
2． 瞬时速度 平均速度的概念
这段时间内汽车的平均速度为
v
经过的路程 所有的时间
s t
150 10
54(km
/
h)
平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度，为了了
解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度—
—瞬时速度．
已知物体作变速直线运动，其运动方程为
s＝s(t)(ｓ表示位移，t
V (r) 4 r3 r(V ) 3 3V
3
4
当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了
r(1)－r(0)= 0.62 当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了
r(２)－r(１)= 0.１６
探究活动
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况， 我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得 出函数的平均变化率
r(V2 ) r(V1) f (x2 ) f (x1)
t t0
t
例 物体作自由落体运动，
运动方程为： s 1 gt 2，其中位移 2
单位是m ，时间单位是s ， g=9.8m/s2．
求 ： (1) 物 体 在 时 间 区 间 [2，2.1]上的平均速度；
(2) 物体在时间区间[2，2.01] 上的平均速度；
(3) 物体在t =2时的瞬时速度.
v s 2g 1 gt
t 0
t
lim(4.9t 13.1) 13.1 t 0
导数的概念
一般地，函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变化
率是
lim f (x0 x) f (x0 ) lim f
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数，
记为 f (x0 ) 或 y xxo ，即
f (x0 )
限存在，则称函数 y = f(x)在点 x0 处可导 ，并称这个极限为函数
y = f(x)在点 x0 处的导数记为
f (x0 )
即
f
(x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
y 也可记作 x xo
★ 若这个极限
不存在，则称 在点x0 处不可 导。
说明：
（1）函数 f (x) 在点 x0 处可导，是指 x 0 时，
y 有极限．如果 y 不存在极限，就说函数在
x
x
点 x0 处不可导，或说无导数． （2）x是自变量x在 x0 处的改变量，x 0，而
y 是函数值的改变量，可以是零．
由导数的定义可知，求函数 y f (x) 在 x0 处的
导数的步骤:
（1）求函数的增量: f f (x0 x) f (x0 ) ；
（2）求平均变化率: f f (x0 x) f (x0 ) ；
x
x
（3）取极限，得导数:
f
(
x0
)
lim
x0
f x
物体在t 到 t+t 这段时间内，当 t0 时平均速度v
的极限．即
v s lim s(t t ) s(t )
t t0
t
高台跳水 h(t) 4.9t 2 6.5t 10
Δt
v
Δt
v
-0.1
-12.61
0.1
-13.59
-0.01 -13.051
0.01 -13.149
-0.001 -13.0951
3.1变化率与导数
3.1.1 变化率问题
问题1 气球膨胀率:气球的体积V与半
径r之间函数关系为
V (r) 4 r3
3
r(V ) 3 3V
4
问题2 高台跳水运动中，运动员相对于水
面的高度h与起跳后时间t存在函数关系为
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
引导：
1 这一现象中，哪些量在改变？ 2 变量的变化情况？ 3 引入气球平均膨胀率的概念