复变函数与解析函数
专业：工程力学姓名：李小龙学号：10110756在此仅对基础知识加以总结归纳。

1、基本概念
1、复数
指数表示：
宗量：一个函数的自变量是一个复杂的对象，这是通常称为宗量。

若是z的辐角，则也是其辐角，其中是整数集合，若限制，所得的单值分支称为主值分支，记作argz。

做球面与复平面相切于原点O，过O点作直线OZ垂直于复平面，与球面交于N，即球的北极。

设z是任意复数，连接Nz，与复球面交于P，z与P一一对应，故复数也可用球面上的点P表示，该球面称为复球面。

当，作为N的对应点，我们把复平面上无穷远点当做一点，记作，包括的复平面称为扩充复平面。

2、复变函数
领域：由等式所确定的点集，称为的领域，记作，即以为中心，为半径的开圆（不包括圆周）。

区域：非空点集D若满足：一、D是开集，二、D是连通的，即D中任意两点均可以用全属于D的折线连接。

则我们称D为区域。

单通与复通区域：在区域D内画任意简单闭曲线，若其内部全含于D,则D称为单通区域，否则称为复通区域。

复变函数：以复数为自变量的函数。

记
则：
所以一个复变函数等价于两个二元实变函数。

它给出了z平面到w平面的映射或变换。

复变函数的连续性：
如果
则称在处连续。

3、解析函数
复变函数的导数：
复变函数定义在区域D上，，如果极限
存在且有限，则称在处可导或可微（differentiable），且该极限称为在处的导数或微商（derivative），记作：
解析函数：
若函数f(z)在区域D内可导，则称为区域D内的解析函数，也称全纯函数。

奇点：若函数f（z）在某点不解析，但在的任意领域内都有它的解析点，则称为f(z)的奇点（singular point）。

Cauchy-Riemann条件（CR条件）
此为f(z)在z点可微的必要条件。

充要条件：
（1）二元函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微。

（2）u(x,y),v(x,y)在点(x,y)满足CR条件。

另外我们有推论：
若f(z)在D内解析，则f(z)在D内具有任意阶导数。

4、初等单值函数
初等函数（elementary function）是由基本初等函数（通常认为包括常数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数）经过有限次的加减乘除和复合所构成的函数。

令
称为有理分式，也称有理函数。

除去满足的点外，f(z)在复平面上处处解析，是f(z)的奇点。

复变量的三角函数（trigonometric function）是通过指数函数来定义的：显然都是周期函数，周期为，且他们的绝对值都能大于1.
如：，显然可以大于任意数。

双曲函数：
复变量的双曲函数也是通过指数函数来定义的。

称为双曲余弦函数和双曲正弦函数。

他们在整个复平面上解析。

5、解析函数的物理意义
调和函数：如果二元实变函数在区域D内具有连续的二阶偏导数，且满足二维Laplace方程
则称为区域D内的调和函数。

若是区域D内的解析函数，则、均为D内的调和函数。

由已知函数，则由
积分求出，反之亦然。

正交曲线族
若是区域D内的解析函数，则曲线族相互正交。

二、复变函数的积分
1、复积分的定义和基本性质
曲线的方向：一阶导数连续的曲线称为光滑曲线。

简单曲线：没有重点的曲线。

围线：逐段光滑的简单闭曲线。

复积分的定义及存在性：
定义：
设函数沿曲线C：有定义，在C上沿参数增加的方向从取分点
将C分为n个弧段，在至的弧段上任取一点，作和数
若
C称为积分路径。

积分存在定理：
2、 Cauchy积分定理
设函数在单通区域D内解析，C为D内的任意围线，则
推论：设函数在单通区域D内解析，，则积分
定理（变上限积分）设函数在单通区域D内解析，是定点，则由定义的函数在D内解析，且。

复通区域的Cauchy积分定理：
设D是由复围线围成的复通区域，函数
或者：
Cauchy积分公式及其推论
设区域D的边界是围线或复围线C，函数在D上解析，则
注意：该公式表明，对于解析函数，只要边界上的函数值给定，则区域内的函数值也就完全确定了。

改写为如下形式可以用于计算某些积分。

解析函数的高阶导数
解析函数一次可微导致任意次可微，而且边界上的函数值不仅确定了所谓区域内的函数值，也确定了其中各阶导数的函数值。

设区域D以围线或复围线C为边界，函数在闭区域上解析，则在D内有各阶导数：
Liouville定理
在整个z平面上解析的函数称为整函数。

有界整函数必为常数。

3、解析函数的幂级数展开
Cauchy收敛原理：
形如的级数，收敛的充要条件是：
作为上式得特列，取，则得到，所以上面的级数收敛的必要条件是：如果级数
收敛，则称上述级数绝对收敛，收敛但不绝对收敛的级数称为条件收敛。

四、解析函数的Laurent展开与孤立奇点
1、解析函数的Laurent展开
考虑两个幂级数：
他们的和为：
称为双边幂级数。

双边幂级数具有如下性质：
a) 在收敛环H内绝对收敛于。

b) 和函数在H内解析。

c) 在H内可以逐项求导和逐项积分。

Laurent定理：设函数在环域H：内解析，则在H内可以展开为双边幂级数：
其中
而是环内包围内圆的任意围线。

且展开式是唯一的。

解析函数的零点与孤立奇点：
定义：若函数在点解析，且
注：
多项式是最简单的解析函数，如果是多项式的重根，则有
，其中是次多项式，且。

容易验证，在点满足以上条件，所以是的阶零点。

一般解析函数的阶零点是多项式重根的推广。

定理（阶零点）若函数。

零点的孤立性：若函数的零点，则必存在领域，在其中只有一个零点。

推论：若函数在区域D内解析，在D内有点列，满足，，。

解析函数的唯一性定理：若函数均在区域D内解析，在D内有点列，满足，，
解析函数的孤立奇点及其分类：
定义：
粗略的说，如果函数，但在的附近没有别的奇点，则就是的孤立奇点。

正则部分和主要部分用于判断奇点奇性的大小：
是内半径为零的环域，在其中解析，则可以展开为Laurent级数：
展开式中的正幂部分，即称为正则部分，负幂部分，即称为主要部分。

孤立奇点的分类：
（1）如果主要部分为零，则称为的可去奇点（removable
singularity）.
（2）如果主要部分为，其中，则的阶极点（pole）。

时也称为单极点。

（3）如果主要部分有无穷多项，则的本性奇点（essential
singularity）。

2、各种孤立奇点的判断：
函数的孤立奇点为可去奇点的充要条件是。

为阶极点的充要条件是在的某去心领域内可以表示为：
，其中在点解析，且。

或者是
推论：函数的孤立奇点为极点的充要条件是
本性奇点的判断：
函数的孤立奇点为本性奇点的充要条件是不存在，即不为有限值也不为无穷。

五、留数定理及其应用
1、留数定理
定义：如果函数以为孤立奇点，即在中解析，则积分
称为在点的留数（residue），记作
设在点的Laurent展开为
由此可知，可去奇点处的留数为零。

Cauchy留数定理：
设函数在围线或复围线C所围的区域D中有孤立奇点，此外在D上解析，
则有：
2、留数的算法
极点的留数定理：设是的阶极点，则
于是有下面两个常用的推论：
单极点：
二阶极点：
单极点的留数计算还有另外一个公式：
设是点解析，且
，则
当极点的阶数较高时，常做Laurent展开，求出系数，对于本性奇点，这也是唯一的计算方法。