n 1 K
ˆ ) 1 ( Kr ˆxd ) Rx 1rxd w(n) ( KR x
（2）LMS 算法 LMs 算法的性能准则是采用瞬时平方误差性能函数|e(k)|2 代替均方误差性能函数 E{|e(k)|2}, 其实质是以当前输出误差、当前参考信号和当前权系数求得下个时刻的权系数。 其输出信号 y(k)、输出误差 e(k)及权系数 W(k)的计算公式为:
问题。换句话说，根据最小均方误差准则得到的是对一类数据的最佳滤波器，而根据最小二 乘法得到的是对一组已知数据的最佳滤波器。 对同一类数据来说， 最小均方误差准则对不同 的数据组导出同样的“最佳”滤波器，而最小二乘法对不同的数据组导出不同的“最佳”滤 波器，因而常说最小二乘法导出的最佳滤波器是“精确”的。故本设计就是采用 RLS 算法。 下面我们将分析基本的 RLS 算法的原理及其性能。 3.2.2 基本 RLS 算法原理及性能分析 首先叙述最小二乘法的基础，然后推导递推最小二乘算法的计算公式。 3.2.2.1 最小二乘滤波方程 设已知 n 个数 x(1)，x(2)，„，x(n)，我们要根据这些数据，利用图 4 的 m 阶线性滤波器来估计需要信号 y(1)，y(2)，„，y(n)。 x(1) Z-1 x(2) Z-1 Z-1 x(i-Nx(k )e * (k ) e(k ) [1 | y(k ) |2 ] y(k ) x(k )
该算法的收敛性在理论上无法保障。 同时该算法的另外一个缺陷是， 如果有一个较大的干扰 信号，则该算法往往收敛到一个错误的信号上。 综上所述，LMS，SMI,CMA,DDLMS 算法都具有收敛性，但 SMI 算法比 LMS 算法收敛速 度快，LMS，SMI,DDLMS 都需要参考信号，且 SMI 算法较复杂，CMA 算法理论上可能不 收敛。RLS 算法（递推最小二乘法）是最小二乘法的一类快速算法，它包含时间递推最小 二乘法（TRLS）与阶数递推最小二乘法（ORLS）两大类。通常说来，RLS 自适应算法具 有快速收敛性，最小均方误差自适应算法（LMS）的收敛性对输入信号相关矩阵参数很灵 敏。 所研究的自适应滤波算法直接根据一组数据寻求最佳输出，最小二乘算法就可解决这个
e(n) d (n) y(n) d (n) wH (n) x(n)
误差的平方可展开为:
| e(n) |2 e(n)e H (n) | d (n) |2 d (n) x H (n) w(n) w H (n) x(n)d H (n) w H (n) x(n) x H (n) w(n)
定义相关矩阵为: Rx E{x(n) x (n)}, rxd E{x(n)d (n)}
H H
其均方误差为:
E{| e(k ) |2 } | d (n) |2 2 Re{wH (n)rxd } wH (n)Rx w{n)
要使均方误差最小，则:
w (E{| n |2 }) 2rx d 2Rx w(n) 0
平方算法（OLS） 、递推最小算法（RLS）等等。下面我们先讨论各种自适应算法的原理及 性能比较。 3.2 自适应算法及性能分析 3.2.1 自适应算法的基本概念 自适应算法是解决参数未知，时变系统控制问题的有力工具。人们通过迫使被控对象跟 踪特性理想的参考模型， 来获得要求的闭环系统性能， 这一控制形式已在许多控制领域得到 应用。 常用的自适应算法有: SMI(SampledMatrixInversion，抽样矩阵求逆); 甩 RLS(RecursiveLeastSquares，递归最小平方); LMs(LeastMeanSquares，最小均方); DDLMS(DecisionDirectedLeastMeanSquares，判决直接最小均方); CMA(Constantmodulusalgorithm，常系数算法)。 3.2.1.1 算法描述 (l)SMI 算法 SM 工算法的性能准则是使参考信号 d (n) 和阵列输出信号 y (n) 之间的均方误差 最小。误差公式为:
由此求得最佳加权矢量为: wopt (n) R 1 x rxd ，即为著名的最优解—“维纳解” 。 统计相关值 Rx 。和 rxd 己是未知的，但可由信号的抽样值来估算相关性。具体方 法是:对输入信号矢量和参考信号都取 K 个抽样值，则输入信号形成 MxK 矩阵， 用 X 表示，则自相关矩阵 Rx 的估计值为:
参数，使滤波器性能重新达到最佳。
d(n)
+
e(n) ∑
x(n)
参数可调数 字滤波器 y(n) 自适应滤波器 算法
图 1 自适应滤波器的一般结构图
3 自适应滤波器的结构及算法
3.1 自适应滤波器结构 自适应滤波器的结构有 FIR 和 IIR 两种。FIR 滤波器是一种非递归系统，即当前输出样 本仅是过去和现在输入样本的函数，其冲击响应是一个有限长序，并且仅在原点处有极点； IIR 滤波器是递归系统，即当前输出样本是过去输出和过去输入样本的函数，并且其冲击响 应具有无限的持续时间。因为 FIR 滤波器除原点外，只有零点没有极点，因此其具有很好 的线性相位， 即这种滤波器不会给信号带来相位失真， 而 IIR 的相位响应是非线性的； 另外， 由于 FIR 滤波器是非递归的，稳定性比较好，而 IIR 滤波器的稳定性不能得到保证，并且实 现起来也比较复杂；由于 IIR 滤波器存在稳定性的问题，并且实现起来也比较复杂。因此本 设计采用 FIR 滤波器。自适应 FIR 滤波器结构又可分为 3 种结构类型：横向型结构、对称 横向型结构以及格形结构，由于 FIR 滤波器横向结构的算法具有容易实现、计算量少等优 点，在对线性相位要求不严格、收敛速度不是很快的场合，多采用 FIR 作为自适应滤波器 横向结构。故本设计采用这种 FIR 横向滤波器结构作为自适应滤波器的结构，如图 2 示 X(n) Z-1 Z-1 Z-1 X(n-N+1)
Wo(n)
W1(n) + + + 自适应算法 +
W2(n) + + ∑ y(n)
WN-1(n)
+
图 2FIR 横向滤波器结构图 设其中 X(n)=[x(n),x(n-1),„„,x(n-N+1)]T，为自适应滤波器的输入矢量； W(n)=[w0(n),w1(n),„„,wn-1(n)]T 是权系数矢量，即自适应滤波器的冲激响应；y(n)为自适 应滤波器的输出矢量。T 为矩阵转置符，n 为时间序列，N 为滤波器的阶数。自适应滤波器 除包括一个按照某种结构设计的滤波器外， 还有一套自适应的算法。 自适算法是根据某种判 断来设计滤波器的。该算法包括最小均方算法（LMS） 、最小高阶均方算法（LMF） 、最小
y (k ) W (k ) X T (k ) e( k ) d ( k ) y ( k ) W (k 1) W (n) 2 e (k ) X (k ) d ( k ) x ( k ) n( k )
式中 X(k)表示第 k 时刻参考信号矢量， X (k ) [n(k ), n(k 1)n(k M 1)] , k 为迭代次数,M 为滤波器的阶数。d(k)表示第 k 时刻的输入信号矢量,y(k)、e(k)分别表示第 k 时刻的输出信号与输出误差,W(k)表示 k 时刻权系数矢量, W(k)=[W(k,0),W(k,1)„W(k,M-1)]。μ 表示 LMS 算法步长收敛因子。 自适应滤波器收敛的条 件是 0
1
max
。其中 max 是输入信号的自相关矩阵 R 的最大特征值。μ 的选取必须在
收敛速度和失调之间取得较好的折中,既要具有较快的收敛速度,又要使稳态误差最小。它控 制了算法稳定性和自适应速度，如果产很小，算法的自适应速度会很慢 ;如果μ 很大，算法 会变得不稳定。 由于 LMS 算法结构简单、 计算量小、 稳定性好,因此被广泛应用于系统辨识、 信号增强、自适应波束形成、噪声消除以及控制领域等。 （3）DDLMS 算法 DDLMS 算法的特点是使用判决方法生成参考信号。 阵列输出的信号经过解调后进行二 值判决，生成参考信号，这是在比特速率下进行的判决。由于该算法不适合于本设计，在此 不深入阐述。 （4）CMA 算法 CMA 算法是一种盲自适应算法，即不需要参考信号。其迭代算法如下:
2 自适应滤波器设计原理
自适应滤波器是以最小均方误差为准则，由自适应算法通过调整滤波器系数，以达到最 优滤波的时变最佳滤波器. 设计自适应滤波器时， 可以不必预先知道信号与噪声的自相关函 数，在滤波过程中，即使噪声与信号的自相关函数随时间缓慢变化，滤波器也能自动适应， 自动调节到满足均方误差最小的要求。 自适应滤波器主要由参数可调的数字滤波器和调整滤 波器系数的自适应算法两部分构成自适应滤波器的一般结构如图 1 所示。 参数可调数字滤波 器可以是 FIR 滤波器或 IIR 数字滤波器，也可以是格形滤波器。 图 1 中 d(n)为期望响应，x(n)为自适应滤波器的输入，y(n)为自适应滤波器的输出，e(n) 为估计误差，e(n)=d(n)-y(n)，前置级完成跟踪信号的选择，确定是信号还是噪声；后置级根 据前置级的不同选择对数字滤波器输出作不同的处理， 以得到信号输出。 自适应滤波器的滤 波器系数受误差信号 e(n)控制，e(n)通过某种自适应算法对 l 滤波器参数进行调整，最终使 e(n)的均方值最小。因此，实际上，自适应滤波器是一种能够自动调整本身参数的特殊维纳 滤波器， 在设计时不需要实现知道关于输入信号和噪声的统计特性的知识， 它能够在自己的 工作过程中逐渐“了解”或估计出所需的统计特性，并以此为依据自动调整自己的参数，以 达到最佳滤波效果。一旦输入信号的统计特性发生变化，它又能够跟踪这种变化，自动调整
1 自适应滤波器简介
最早人们根据生物能以各种有效的方式适应生存环境从而使生命力变强的特性引伸出 自适应这个概念。自适应滤波器属于现代滤波器的范畴，它是 40 年代发展起来的自适应信 号处理领域的一个重要应用。60 年代，美国 B.Windrow 和 Hoff 首先提出了主要应用于随机 信号处理的自适应滤波器算法，从而奠定自适应滤波器的发展。所谓自适应滤波器，即利用 前一时刻已获得的滤波器参数等结果， 自动地调节现时刻的滤波器参数， 以适应信号与噪声 未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。 自适应信号处理主要是研究结构可变或可调整的系统， 它可以通过自身与外界环境的接 触来改善自身对信号处理的性能。 通常这类系统是时变的非线性系统， 可以自动适应信号传 输的环境和要求，无须详细知道信号的结构和实际知识，无须精确设计处理系统本身。自适 应系统的非线性特性主要是由系统对不同的信号环境实现自身参数的调整来确定的。 自适应 系统的时变特性主要是由其自适应响应或自适应学习过程来确定的， 当自适应过程结束和系 统不再进行时，有一类自适应系统可成为线性系统，并称为线性自适应系统，因为这类系统 便于设计且易于数学处理，所以实际应用广泛。本文研究的自适应滤波器就是这类滤波器。 自适应信号处理的应用领域包括通信、雷达、声纳、地震学、导航系统、生物医学和工业控 制等。自适应滤波器是相对固定滤波器而言的，固定滤波器属于经典滤波器，它滤波的频率 是固定的， 自适应滤波器滤波的频率则是自动适应输入信号而变化的， 所以其适用范围更广。 在没有任何关于信号和噪声的先验知识的条件下， 自适应滤波器利用前一时刻已获得的滤波 器参数来自动调节现时刻的滤波器参数， 以适应信号和噪声未知或随机变化的统计特性， 从 而实现最优滤波。 自适应滤波器出现以后，发展很快。由于设计简单、性能最佳，自适应滤波器是目前数 字滤波器领域是活跃的分支，也是数字滤波器研究的热点。主要自适应滤波器有：递推最小 二乘（RLS）滤波器、最小均方差（LMS）滤波器、格型滤波器、无限冲激响应（ IIR）滤 波器。其中 RLS 滤波器具有稳定的自适应行为而且算法简单，收敛性能良好。 实际情况中， 由于信号和噪声的统计特性常常未知或无法获知， 这就为自适应滤波器提 供广阔的应用空间、系统辨识、噪声对消、自适应谱线增强、通信信道的自适应均衡、线性 预测、自适应天线阵列等是自适应滤波器的主要应用领域。