A(t )为n×n阶状态系统矩阵
B(t ) 为n×r阶控制系数矩阵，若r＝1，
则 B(t )为n维列向量
U (t ) 为r维控制向量
如在上式中，A，B是常系数矩阵，那么所研究的系统为 线性定常系统 若系统的性能指标采用二次型性能指标为:
1 T J X (t )QX (t ) U T (t ) RV (t ) dt J min 2 0
二、特征根和右特征向量的数字性质
对于一个n维线性系统，其满足特征方程式的特征根为 i j 1且 , 2 , ， ，由矩阵特征根结论， 和其相对应特征向 i n 量满足：
Aui i ui
(i=1,2,…n)
为和后面介绍的左特征向量相区别，上式中的特征向量
u称为 i
的右特征向量。 i
不发生自摇摆失步的条件为：
M D M D ( ) 0 下面就以上面两个条件为基础，进行具体分析
二、同步转矩系数的变化分析
A M S K 1 M S ( ) K 1 E
K1
K 2 K3 K5 K p K 2 K3 K 4 1 K3 K6 1 K3 K6 Kp
K1
K 5 和 K 6大的多，所以 、 K 2、K 3 、 K 4、
三、阻尼转矩系数的变化分析
M D M D ( )

1 ( AD BE ) 2 E
1 2 (K 2 K 3 K 5 K p Td 0 K 2 K 3 K 5 K p T1 K 2 K 32 K 4Td 0 K 2 K 32 K 4 K 6 K p T1 ) E2
若定义特征根对角阵 diag(1 , 2 , ，n ),
右特征向量矩阵 U u1 , u 2 , , u n ，
则 AU U ，或 U 1 AU 用右特征向量矩阵U对原系统作线性变换，即定义 AX 有 系统新状态变量Z，使X=UZ，代入 X
U 1 AUZ Z Z
X AX
对A的特征根和特征向量进行分析。
.
事实上，工程中不仅对系统稳定与否感兴趣，而且还希 望知道小扰动下，系统过渡过程的许多特征：如振荡过渡过 程的特征，包括振荡频率，衰减因子，相应振荡在系统中的 分布（即反映在各个状态量中该振荡的幅值和相对振荡相 位）。该振荡是由什么引起的，和哪些状态是密切相关的， 以便确定抑制振荡的装置最佳装设地点及为控制装置的参数 整定提供有用的信息，非振荡性过渡往往也有衰减时间常数， 及其和系统各状态量间的相关性等特征，以便为相应控制对 策提供有用的信息。此外稳定极限及稳定裕度也是计算分析 的重要内容之一，上述分析涉及到特征根，特征向量，相关 因子（Participating factor ,又称为参与因子）相关比 （又称为参与比），特征根的灵敏度计算等等问题，后面将 详细介绍。
K6
u qT 0 u aT 0
xL ' xd xL
发电机在微扰下的框图
四种控制方式对发电机小扰动稳 定的影响
PID控制方式对发电机小扰动稳定的影响 PSS控制方式对发电机小干扰稳定的影响 LOEC (limear optimal exiter comtrol)控 制方式对发电机小干扰稳定的影响
即
G3 A( p) K 5 K 4 G3 E 1 G3 A( p) K 6
' q
' 所以由 Eq 产生的电磁转矩 M e2 K 2 Eq' 和
之间具有如下的关系式:
M e 2 K 2 G3 A( p) K 5 K 2 K 2 G3 1 G3 A( p) K 6
特征根与特征向量的物理意义和数字性质
一、模式和模态（mode and mode shape） 设有常微分方程： .. c 0 （ａ，ｃ≠0，） a X bX 它的特征根为：
1, 2
b b 2 4ac j p1, 2 2a
. 0 x1 X . c x2 a
把 G3 和 A( p) 带入上式可得：
M e 2 A Bp 2 ( p 1) p E
（8.3-2）
其中：
A K 2 K3 K5 K p K 2 K3 K 4
B K 2 K 3 K 5 K p T2 K 2 K 3 K 4T1
C K 3Td 0T1
D K 3Td 0 T1 K 3 K 6 K p T2
电力系统动态稳定分析
小扰动转矩分析的模型建立 四种控制方式对发电机小干扰稳定的影 响 多机系统动态稳定分析的特征分析法 特征根与特征向量的物理意义和数字性 质
小扰动转矩分析的模型建立
采用以下的假设 : 定子电阻忽略不计 定子绕组的变压器电势 p d 和 p 忽略不计 q w=1 不计阻尼绕组
∴ Ee A( p)(K 5 K 6 Eq )
'
1 T2 p 其中： A( p) K p 1 T1 p
令
K3 G3 1 K 3Td 0 p
' Eq G3 E e K 4G3
' G3 A( p)(K5 K6 Eq ) K 4G3
E 1 K 3 K 6K p
设 按正弦系数 m sin t 的方式振荡，令其 中的 p j ，求
M e3 M S ( ) jM D ( )
可得：
A( E C2 ) 2 BD M S ( ) F
AD B( E C 2 ) M D ( ) F
p 1
求 Pe 、 E 及 U aT 三个变量的增量方程: 由(1)－(5)可得：
q
id
' Eq u cos ' xd xL
u sin ；i q xq x L
Pe d iq q id iq Eq
Pe iq0 Eq Eq0 iq
也就是说励磁调节器加入后，机组的阻尼增加 了，不会在 角较小时出现自摇摆失步
2）当负荷较轻（ 较大）时， K5
MD 0
0，此时，
, 机组将要发生自摇摆失步的现象。
PSS控制方式对发电机小干扰稳定的影响
PID励磁调节器恶化系统的阻尼作用和引起振荡的
原因为：
1)采用电压作为调节器的控制量；
则发电机模型采用三阶模型，可列写方程如下：
u d xq i q
' ' u q Eq xd id
' ' ' Td' 0 pEq E f Eq E f ( E q (X d X d )id )
(1) (2) (3) (4) (5)
Mp Pm Pe D( 1)
' q
其中:
' xd xL K3 xd xL
' K 4 ( x L xd )u sin 0
' U aT K 5 K 6 Eq
其中：
u dt 0 K5 u cos 0 u sin 0 ' u at 0 x q x L u at 0 x d x L xq u qt 0 x 'd
2) 励磁系统具有惯性，导致电流滞后电压一定
的角度。
LOEC (limear optimal exiter comtrol) 控制方式对发电机小干扰稳定的影响
控制方程：线性系统状态空间方程的一般形式为：
式中：
X (t ) A(t ) X (t ) B(t )U (t )
X (t ) 为n维状态向量
因为A为对角阵，故在新的状态量空间中可实系 统的解藕，由于 为对角阵，其余 i 个方程为：
Z i i Z i
.
其特征根为 i ，相应的时域解为：
Z i Ci e i t
x UZ u1 Z1 u 2 Z 2 u n Z n
C1u1e1t C2u2 e 2t Cn un e nt （ 1 ）
Pe K1 K 2 E
其中：
' xq xd
' q
u cos 0 K1 ' i q 0 u sin 0 Eq0 xq x L xd x L
xq x L K2 ' iq0 xd x L
K3 K3 K4 E E f 1 K 3Td 0 p K 3Td 0 p
其中：Q、R为权系数矩阵


具体解法原理请参见《输电系统最优控制》、《电力系 统最优分数协调控制》。
线性常系数最优控制系统设计步骤：
多机系统动态稳定分析的特征分析法
多机系统动态稳定分析广泛采用特征分析 （ Eigen-analysis）, 有的文献中称之为特征 结构分析法（Eigen-structure analysis） 设系统已形成标准的N维线性化方程：
有了 M S ( ) 及 M D ( ) 这些数值后，我们就可求 得发电机的转矩增量为：
' M e K1 K 2 Eq (K1 M S (t )) M D (t ) p
这样一来，我们就求得发电机不发生爬行失 步的条件为：
M S K 1M S ( ) 0
2 u2 p2
x1 1 p1t 1 p2t p1t p2t c e c e c u e c u e 2 1 1 2 2 x 1 p 2 1 p2
∵ e ( i)t et (cost i sin t ) ,
1 x b 1 A X x a 2
再由特征向量的定义可知，满足 Aui i u i 解向 量 u i 称为特征根 i 相对应的特征向量。
相应地求出对应于 1 , 2 的特征向量为 u1 , u 2