2.1.2 优化设计的一般过程
机械设计的全过程一般可分为：
1.设计问题分析 2.建立优化设计的数学模型。 3.选择适当的优化方法。 4.编写计算机程序，计算择优。
2.1.3 优化设计的数学模型 1、建立数学模型的基本原则 数学模型的建立要求确切、简洁的反映 工程问题。 2、数学模型的三要素 设计变量、目标函数、约束条件。
2.1.3 优化设计的数学模型 3、优化设计数学模型建立实例 1）设计变量的确定
决定机构尺寸的各杆长度，以及当摇杆按已 知运动规律开始运动时，曲柄所处的位臵角φ0 为设计变量。
X [ x1
x2
x3
x4
x 5 ] [ l1 l 2 l 3 l 4 0 ]
T
T
2.1.3 优化设计的数学模型 3、优化设计数学模型建立实例 2）目标函数的建立
2.1.5 优化问题数学模型的求解方法
1）图解法的求解的步骤
（1）确定设计空间；
（2）作出约束可行域；
（3）画出目标函数的一簇等值线； （4）最后判断确定最优点。
2.1.5 优化问题数学模型的求解方法 2）图解法的求解实例
生产甲产品一件获利60元，生产乙产品一 件获利120元，受条件约束，如何安排生产可获 最大利润？ 目标函数：f（X）＝一60x1一120x2
ar) 2 l2l3
2
] 0
2.1.3 优化设计的数学模型 3、优化设计数学模型建立实例 设计变量的确定
X [ x1 x2 x3 x4 x 5 ] [ l1
T
l2
l3
l4 0 ]
T
考虑到机构的杆长按比例变化时，不会改 变其运动规律，因此在计算时常取l1=1 ，而其 他杆长按比例取为l1 的倍数。
g 2 ( x1 , x 2 ) 3 x1 10 x 2 300 g 2 ( x1 , x 2 ) 3 x1 10 x 2 300 0
g 3 ( x1 , x 2 ) 4 x1 5 x 2 200 g 3 ( x1 , x 2 ) 4 x1 5 x 2 200 0
目标函数可根据已知的运动规律与机构实 际运动规律之间的偏差最小为指标来建立，即
f (X )

i1
m
(
0i
i ) min
2
2.1.3 优化设计的数学模型 3、优化设计数学模型建立实例 3）约束条件的确定 （1）曲柄摇杆机构满足曲柄存在的条件
g 1 ( X ) l1 l 2 0 g 2 ( X ) l1 l 3 0 g 3 ( X ) l1 l 4 0 g 4 ( X ) l1 l 4 l 2 l 3 0 g 5 ( X ) l1 l 2 l 3 l 4 0 g 6 ( X ) l1 l 3 l 2 l 4 0
（1）约束条件的分类 b）根据性质不同分为边界约束和性能约束。
边界约束：考虑了设计变量变化的范围，是 对设计变量本身所加的直接限制。 比如：ai-xi≤0
xi-bi≤0
性能约束：是根据设计性能或指标要求而定 的一种约束条件。是对设计变量加的间接变量。 例如：零件的强度条件，刚度条件，稳定性条件 均属于性能约束。
此约束的可 行域是由约 束边界线围 成的封闭五 边形： OABCD
2.1.5 优化问题数学模型的求解方法 2）图解法的求解实例 目标函数f（X）＝一60x1一120x2的等值线簇。
2.1.5 优化问题数学模型的求解方法 2）图解法的求解实例 其可行域与 目标函数的等值 线图叠加在一起。 求解得： 每天生产甲 产品20件，乙产 品24件，可获最 大利润4080元。
2.1.3 优化设计的数学模型 1）设计变量
设计变量是指在设计过程中可以进行调整 和优选的独立参数。 （1）设计变量的选择： 应该选择那些与目标函数和约束函数密切 相关的，能够表达设计对象特征的基本参数。
应注意各设计变量应相互独立，否则会 给优化带来困难。
2.1.3 优化设计的数学模型 1）设计变量 （2）设计变量的分类 连续变量 可以在实数范围内连续取值的变量。 离散变量 只在给定数列或集合中取值的变量。
2.1.3 优化设计的数学模型 优化设计问题的的数学模型一般数学表达式为：
m in f ( X )
X R
n
s .t . g ( x ) 0 u
hv ( x ) 0
u 1, 2 , ..., m v 1, 2 , ..., p n
2.1.3 优化设计的数学模型 3、优化设计数学模型建立实例 例1：有一块边长为6m的正方形铝板，四角各 裁去一个小的正方块，做成一个无盖的盒子。试 确定裁去的四个小正方块的边长，以使做成的盒 子具有最大的容积。
D X | g u ( X ) 0， h v ( X ) 0 , ( u 1 , 2 , , m ； v 1 , 2 , , p )
2.1.3 优化设计的数学模型 3）约束条件 （2）可行域
g1 ( x1 , x 2 ) 9 x1 4 x 2 360 g1 ( x1 , x 2 ) 9 x1 4 x 2 360 0
2.1.3 优化设计的数学模型 3）约束条件
约束边界
2.1.3 优化设计的数学模型 3）约束条件
（2）可行域
每一个不等式或等式约束都将设计空间分为 两个部分，满足所有约束的部分形成一个交集， 该交集称为此约束问题的可行域，记作D。 可行域就是满足所有约束条件的设计点的集 合，因此，可用集合式表示如下：
f ( X ) f ( x1 , x 2 x n )
2.1.3 优化设计的数学模型 2）目标函数
（2）目标函数的选择 必须针对具体问题，选择主要的技术指标 作为设计的目标函数，如：利润、体积、重量、 功率等。
2.1.3 优化设计的数学模型 2）目标函数
（3）等值面和等值线 对于简单的问题，可用等值线或等值面来描 述函数的变化趋势，还可以直观地给出极值点的 位臵。 目标函数等值线（面），其数学表达式为： f（X）=c。 在这种线或面上所有点的函数值均相等，因 此，这种线或面称为函数的等值线或等值面。 当c取一系列不同的常数值时，可以得到一组 形态相似的等值线或等值面，称为函数的等值线 簇或等值面簇。
2.1.5 优化问题数学模型的求解方法 2）图解法的求解实例
min f ( X ) x 1 x 2 4 x 1 4
2 2
X R
2
s .t . g1 ( X ) x1 x 2 2 0 g 2 ( X ) x1 x 2 1 0 g 3 ( X ) x1 0
2.1.3 优化设计的数学模型 3）约束条件 （1）约束条件的分类 a）约束条件根据形式不同分为不等式 约束和等式约束。 一般表示为：
gu( X ) 0 hv ( X ) 0 ( u 1,2 , m ) ( v 1,2 , p , p n )
2.1.3 优化设计的数学模型 3）约束条件
解：设裁去的四个小正方块的边长为x，则盒子 的容积可表示成x的函数 F（X）＝x(6-2x)2
2.1.3 优化设计的数学模型 3、优化设计数学模型建立实例 变量
x g1（X）＝x > 0 g2（X）＝x < 3
—设计变量
f（X）＝x(6-2x)2 —目标函数
—约束条件
使容积最大，即使f（X）= -x(6-2x)2 最小
2.1.4 优化问题的分类
1、按是否包含有约束条件分：
无约束优化问题和约束优化问题。 ２、按设计变量的多少可分：
单变量优化和多变量优化。
３、按目标函数和约束函数的性质可分：
线性规划和非线性规划。
2.1.5 优化问题数学模型的求解方法 图解法 1、图解法： 用直接作图的方法来求解优化问题。 在设计平面作出约束可行域，画出目标函数 的一簇等值线，根据等值线与可行域的相互关 系确定出最优点的位臵。 特点： 优点：直观。 缺点：一般仅限于求解n≤2的低 维优化问题。 数学解析法 数值迭代法
2.1.3 优化设计的数学模型 3、优化设计数学模型建立实例 3）约束条件的确定 （2）若要求最小传动角应在 m in 和
g 7 ( X ) arccos[ l2 l3 (l4 l1 )
2 2 2
m ax
间，可得
0
]
2 l2l3
2 2
max
g8 ( X )
max
2.1.3 优化设计的数学模型 2）目标函数
（3）等值面和等值线
函数： f（X）＝xl2十x22一4x1十4 的图形(旋转抛物面)。
用平面f（X）＝c切割该抛 物面所得交线在设计空间中 的投影，就是目标函数的等 值线。
2.1.3 优化设计的数学模型 3）约束条件
对任何设计都有若干不同的要求和限制， 将这些要求和限制表示成设计变量的函数并写 成一系列不等式和等式表达式，就构成了设计 的约束条件，简称设计约束。 约束条件的作用： 就是对设计变量的取值加以限制。
2.1.3 优化设计的数学模型 3、优化设计数学模型建立实例 min f（X）= -x(6-2x)2
s.t.
X R
g1（X）＝-x < 0
g2（X）＝ x < 3
2.1.3 优化设计的数学模型 3、优化设计数学模型建立实例 例2：平面连杆机构的优化设计 曲柄摇杆机构再现已知运动规律的优化设计
第2章
主要内容：
优化设计
了解优化设计；
会建立优化设计的数学模型；
了解优化设计的数学基础知识；
掌握一维优化方法；
了解多维优化方法。
2.1
概述
2.1.1 优化设计的概念 优化设计是借助最优化数值计算方法和计 算机技术，求取工程问题的最优设计方案。 即：进行最优化设计时，首先必须将实际 问题加以数学描述，形成一组由数学表达式组 成的数学模型，然后选择一种最优化数值计算 方法和计算机程序，在计算机上运算求解，得 到一组最佳的设计参数。