x1 + x2 y + y2 )+ 1 2 2
(k 2 =
连接方程（3） （4） ，求解为：
x=
y3 − y 2 k ( x + x ) − k 2 ( x1 + x2 ) + 1 1 3 2(k1 − k 2 ) 2(k1 − k 2 ) y3 − y2 k ( x + x ) − k 2 ( x1 + y2 ) x1 + x3 y +y + 1 1 3 − )+ 1 3 2(k1 − k 2 ) 2(k1 + k 2 ) 2 2
所以三角形 ABC 外接圆的坐标为: （
− k1 (
（7）
y3 − y 2 k ( x + x ) − k 2 ( x1 + x2 ) + 1 1 3 2( k1 − k 2 ) 2( k1 − k 2 ) y3 − y 2 k ( x + x ) − k 2 ( x1 + y2 ) x1 + x3 y + y3 + 1 1 3 − )+ 1 2( k1 − k 2 ) 2( k1 + k 2 ) 2 2
将（5） （6）代入（2）中可以求出 z 值： 1 y − y2 k ( x + x ) − k 2 ( x1 + x2 ) [( x1 − 3 − 1 1 3 )m + p 2(k1 − k 2 ) 2(k1 − k 2 )
z = z3 +
y −y k ( x + x ) − k 2 ( y1 + y2 ) x1 + x3 y +y n( y1 + k1 ( 2 3 + 1 1 3 − ) − 1 3 )] 2(k1 − k 2 ) 2(k1 − k 2 ) 2 2
5.1.2 古塔的空间分布及求解 根据已知的数据我们运用 MATLAB 软件可以画出古塔在三维空间中 的图形，如（图四） ：
所以，平面 ABC 的方程为：m(x- x1 )+n(y- y1 )+p(z- z3 )=0;
由投影的相关性质知， 在三维空间里三角形 ABC 的外接圆的圆心所对应的 x,y 值与三角形 A’B’C’的外接圆的圆心所对应的 x,y 值相等。
三角形外接圆的圆心求法如下：
C ( x3 , y3 )
A(x1, y1)
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古塔的变形
摘 要 本文主要建立了初等数学模型计算出了古塔的中心点坐标， 通过建立拟 合模型对古塔的倾斜、 弯曲情况进行分析，引入空间螺旋线模型对扭曲情况进行 了分析，以及建立了灰色空间模型对该古塔的变形趋势进行了预测。 针对问题一，本文建立了初等数学模型，将每一年各层空间点投影在同一 平面上，求解出了古塔的中心点坐标，古塔各层中心坐标见表（三） 。 针对问题二，本文建立了多个模型。 （1）通过建立对每一年每一层的中心点进行线性拟合的模型，算出拟合的 Π 直线与 z 轴的夹角， 即可求出倾斜度， 为： 1986 年古塔的倾斜角为 − arctan 122 ， 2 Π Π 1996 年古塔倾斜角为 − arctan 121 ， 2009 年古塔的倾斜角为 − arctan 86 ， 2011 2 2 Π 年古塔的倾斜角为 − arctan 85 。 2 （2）对于弯曲变化本文建立了二次拟合模型，计算拟合曲线的曲率，可知 曲率越来越大，即弯曲的越厉害。 （3）关于古塔的扭曲程度，本文建立了两个模型。模型一运用了挠率刻画 出扭曲程度，但此模型的可行性欠缺；从而又建立了模型二，引入空间螺旋线模 型，以来来确定 b 的值，计算得 1986 年的 b 值为 0.009780769，1996 年 b 值为 0.006292308，2009 年 0.005584615,2011 年的 b 值为 0.005333846，b 的值在减 小，说明在 z 轴上一个单位内曲线环绕 z 轴的圈数在增加，扭曲越厉害。 针对问题三，建立了灰色系统模型。通过求出各层中心点到原点的长度变 化对该古塔的变形趋势进行了预测，运用 MATLAB 进行求解。预测值见表（六） 、 表（七） 、表（八） ，表（九） ，由此可知各层的中心点随着时间的推移，离坐标 原点的距离越来越远，即古塔变形越来越严重。
1 y − y2 k ( x + x ) − k 2 ( x1 + x2 ) [( x1 − 3 − 1 1 3 )m + p 2(k1 − k 2 ) 2(k1 − k 2 )
，
，
z3 +
n( y1 + k1 (
y 2 − y3 k ( x + x ) − k 2 ( y1 + y2 ) x1 + x3 y +y + 1 1 3 − ) − 1 3 )] 2(k1 − k 2 ) 2(k1 − k 2 ) 2 2 ）
（5）
y = − k1 (
（6）
5
y3 − y 2 k ( x + x ) − k 2 ( x1 + x2 ) + 1 1 3 2( k1 − k 2 ) 所以三角形 A’B’C’的圆心坐标为： （ 2( k1 − k 2 ) ，
− k1 (
y3 − y 2 k ( x + x ) − k 2 ( x1 + y2 ) x1 + x3 y + y3 + 1 1 3 − )+ 1 2( k1 − k 2 ) 2( k1 + k 2 ) 2 2 ）
湖北工业大学商贸学院
（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以 上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取 消评奖资格。） 日期： 2013 年 9 月 16 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
B ( x2 , y 2 )
（图三）
直线 AC 的中垂线方程为： y AC = − k1 ( x −
x1 + x3 y + y3 )+ 1 2 2
(k1 =
x1 − x3 ) （3） y1 − y3 x1 − x2 ) （4） y1 − y2
直线 AB 的中垂线方程为： y
AB
= −k 2 ( x −
τ (t )
ω v b
5.1 确定中心位置的模型（问题一） 古塔的形状是多种多样的，但我们可以确定的是古塔的塔身是越往上越 小的。开始我们就得求出古塔的底层的中心，再对其它层进行求解。而且根据附 件中的数据我们可以知道， 我们所要求的中心点是在三维空间中的点。 利 matlab 拟合数据我们可以知道附件中的每一层的各点都大致落在同一圆中， 从而利用到 初等数学的知识进行建模。 5.1.1 相关推论及证明 【一】证明：任意一个三角形都有一个外接圆。
关键词：初等数学
数据拟合 螺旋线
灰色系统模型
1
一、问题重述 由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的 影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门 需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。 某古塔已有上千年历史， 是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后 于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。 请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题： 1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各 层中心坐标。 2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。 3. 分析该塔的变形趋势。 二、问题分析 （1）对于问题一，要想确定古塔各层中心位置，就需要对各年的每一层的数据 进行分析处理，并且得让这些空间点的投影固定在同一平面上，进而找出中心点 及坐标； （2）对于问题二，要分析塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，本文就需要引入 衡量倾斜、 弯曲、 扭曲的量， 并且还要考虑古塔的外形。 倾斜度需要用角度表示， 而这个角度可以用与中心点的连线的夹角，就得对各年的中心点进行线性拟合， 从而计算出倾斜度； 而要分析弯曲，就要对各年的中心点的坐标进行曲线拟合从 而建立模型，来分析古塔的弯曲程度；要分析扭曲的话，开始想到了用表示扭曲 程度的量挠率表示， 但最终发现不可行，最终就利用到高等数学中的空间螺旋线 模型，对问题进行求解。 对于问题三，要分析古塔的变化趋势，即需要考虑预测性的问题，本文建立了 关于各层中心点到原点的长度变化的灰色系统模型。
x1 − x3
y1 − y3
z1 − z3
=
m×i-n×j+p×k
（1）
x2 - x3
y 2 - y3
z 2 - z3
4
( m=( y1 − y3 )( z 2 - z3 )-( z1 − z3 )（ y2 - y3 ） ； n=（ x1 − x3 ） （ z 2 - z3 ）-（ z1 − z3 ） （ x2 - x3 ） ； P=( x1 − x3 )( y2 - y3 )-( y1 − y3 )( x2 - x3 ) ） （2）
2
2、符号说明
rij
i 年第 j 层的切面圆的半径（i=1986 年，1996 年，2009 年，2011
年；j=1,2，...，13） ； k 拟合直线的斜率；
δi
K
古塔倾斜角度（i=1,2,3,4） ； 表示弯曲的曲率； 扭曲的挠率； 角速度； 垂直速度； 单位弧度所需要的高度； 五、模型的建立与求解
Z B
A
C
B’ A’
C’ Y