（ ４ ） ｘ 一ｘ ｉ 一 １ ＜ ０ ， Ｙ ｉ －Ｙ ｉ ～ １ ＜ Ｏ ，古塔第 ｉ 层发生逆时 针方 向扭 曲 ； （ ５ ） Ｘ ｉ －Ｘ ｉ 一 ＝ ０ ， 一） ， ｉ 一 ＝ Ｏ ，古 塔第 ｉ 层未 发生 扭
曲。
由上面两个表格 ， 依据弯曲分析标准 ， 可以判断 古塔随时间不断由北往东弯曲， 且呈现楼层越高， 弯
ｘ ６ — — ｘ ０ ｘ ７ 一 ｘ ０ ｘ ８ － ｘ ０ ｘ ９ ～ ｘ ０ Ｘ１ ０ 一 ｘ ０ Ｘ１ ｌ － ｘ ０ ｘ１ ２ 一ｘ ０
０ ． ２ ８ ７ １ ０ ． ３ １ ９ ６ ０． ３ ５ ２ ６ ０ ． ３ ８ ２ ６ ０ ． ４ ３ ６ ３ ０ ． ４ ９ ０ ２ ０ ． ５ ３ ６ ６
＋ （ ｚ 一 ｃ ） 一 Ｒ 】 为 目标函数 ，通过最小二乘法对
数 据进行 拟 合 ， 可得 到未 知参 数半 径 Ｒ 的值 。代入
［ １ ］ 梁 海奎 ． 古 塔变 形测 量方 法探 讨 ［ Ｊ ］ － 城 市勘 测
２ ０ １ １ ， （ ０ ３ ） ： １ １ ３ — １ １ ４ ， １ １ ８ ．
不复杂 ， 可为保护 、 修缮古塔提供有利依据 ， 具有较 强 的应用 背景 。
参 考文献
令 ｆ （ ｚ ， ｂ ， ｃ ， Ｒ） ＝（ Ｘ ｉ —ａ ） （ Ｙ ｉ —ｂ） ２ ＋ （ ｚ ｉ —ｃ ） 一
Ｒ ｚ ， 以ｍ ｉ ｎ ∑． 厂 （ ， ｃ ， ） － Ｆ １ （ ｘ ， － ａ ） ＋ 一 ６ ）
针 方 向扭 曲 ；
ｘ 方向
Ｘ１ － ｘ ０ ｘ ２ － ｘ ０
差值
０ ． ０ ５ ７ ５ ０ ． １ １ ３ ６
Ｙ方 向
ｙ ｌ — ｘ ０ ｙ ２ 一 ｘ Ｏ
差值
－ ０ ． ０ ３ ７ ７ 一 ０ ． ０ ７ ４ ４
ｘ ３ － ｘ ０
ｘ ４ － ｘ ０
ｔ ＝ ｌ ｉ ＝ｌ ／ ＝ｌ
Ｎ 越大 ，其第 ｉ ＋ １ 次 相对 第 ｉ 次 古塔扭 曲变形
越 严重 。 ４ 结束 语
条直线 。因此 ， 为研 究其 弯 曲程 度 ， 近似用 球 的方
程 对 中心 点坐标 进行 拟合 ， 通过计 算 球半径 Ｒ， 则可 得 古 塔 的 曲率 Ｐ：二 。具 体计 算 过程 如 下 ： 设 塔 底 中心 坐标 为 Ｐ ，（ Ｘ 。 ， Ｙ ， ０ ） ，其 他 层 中心 坐 标 为 Ｐ ｉ
ｘ ５ － ｘ ０
０ ． １ ５ ７ ６
０ ． ２ ０ ４ ８
０ ． ２ ５ ３５
ｙ ３ 一 ｘ ０
ｙ ４ 一 ｘ ０
ｙ ５ 一 ｘ ０
— ０ ． １ ０ ３ ４
— ０ ． １ ３ ４ ４
— ０ ． １ ６ ４ ７
（ ２ ） ｘ ｉ —ｘ ｊ 一 ＞ ０ ， ｙ ｉ —ｙ ｉ 一 ＜ ０ ，古塔第 ｉ 层 发生顺 时 针 方 向扭 曲 ； （ ３ ） Ｘ ｉ －Ｘ ｉ 一 １ ＜ ０ ， Ｙ ｉ －ｙ ｉ 一 ＞ ０ ，古塔 第 ｉ 层 发生 逆 时 针 方 向扭 曲 ；
ｙ ６ － ｘ ０ ｙ ７ 一 ｘ ０ ｙ ８ － ｘ ０ ｙ ９ 一 ｘ ０ ｙ ｌ ０ 一 ｘ ０ ｙ １ １ ～ ｘ ０ ｙ １ ２ 一 ｘ ０
－ ０ ． １ ８１ ９ — ０ ． １ ９ 躅 — ０ ． ２ ｌ ５ ７ － ０ ． ２ ３ ０ １ — ０ ． ２ ７ ０ ５ — ０ ． ３ １ ０ ９ — ０ ． ３ ２ ８ ７
［ ２ ］ 黄强． 古塔 变形 监测 的探 讨 ［ Ｊ ］ 坝０ 绘 与空 间地 理信 息 ， ２ ０ １ ３ ， ３ ６ （ ０ ６ ） ： ２ １ ７ － ２ ２ ０ ．
中心坐标进行计算 ， 得到该古塔 １ ９ ８ ６ 年的弯曲程度
为：
１ Ｐ Ｉ ：５ ． ０ ４ ４￣ ｔ Ｏ＇ ￣ 尺 ５ ’
：
［ ３ ］ 金彪 ， 吴北平 ， 李艳芳． 曲线拟合与 回归模 型在 地 铁 变形 监 测 中 的运 用 ［ Ｊ ］ ． 地 矿测 绘 ， ２ ０ ０ ９ ， ２ ５
（ ０ １ ） ： ３ ５ — ３ ７ ， ４ ４ ．
通 过计 算 多年 的 观测 数 据 的 曲率 ， 可判 断古塔
～
一
表 四 各层坐标（ Ｘ方 向 与 Ｙ方 向 ） 与 底层 中心 坐 标 差值 表
古塔 的扭 曲体现 在水平 坐标 的变化上 。针 对古 塔 的扭 曲分析 ，通过 比较不 同年份 同一层 观测 点水 平 坐标 的变化情 况 ， 可判断古 塔 的扭 曲方 向 。 设 观测 点第 ｉ 次测 量 的水平方 向 的坐标 为 Ｐ ｉ （ ｘ ， Ｙ ｉ ） ： （ １ ） Ｘ ｉ －Ｘ ｉ 一 １ ＞ ０ ， ｙ ｉ －Ｙ ｉ 一 １ ＞ ０ ，古塔第 ｉ 层发 生顺 时
（ Ｘ ｉ ｙ ｉ ， Ｚ ｉ ） ， ｉ ＝ ２ ，… ， １ ４ ，球 心 的 坐标 Ｐ （ ｚ ， ｂ ， ｃ ） ， 则
１ Ｐ Ｐ ｉ ｆ ＝ ｌ Ｐ Ｐ ｉ １ ＝ Ｒ。
从三维 空间 以及两维 平面 对古塔 的变形进 行分
析， 建立相对应的数学模型， 能更直观地体现古塔的
倾斜 、 弯曲、 扭 曲。 该 判 断很有参 考价值 ， 而且模 型 也
曲程 度越 大 的规 律 。
定义：第 ｉ ＋ １ 次测量相对第 ｉ 次测量扭曲的扭
曲程 度为 Ｎｉ ＋ ． 。
３
＝
３
３
为衡 量其 弯 曲程 度 ， 从 各层 中心数 据进行 考虑 ， 中心数据 基近 似为一 条直线 ， 通 过拟合 ， 拟合方 程 为
一
∑（ 。 － Ｐ ｈ ＝ ∑ － Ｘ ） ＋ ∑ ＋ 广Ｙ 定量分析。 ３ 古塔 扭 曲分析