第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6.1 幂 函 数
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导思
1.除了一次函数、二次函数、反比例函数外还有哪些常见函数? 2.幂函数有哪些特征?
1.幂函数的概念 一般地,我们把形如_y_=_x_α_的函数称为幂函数,其中_x_是自变量,_α__是常数.
2.常见幂函数的图象与性质
解析式
【变式探究】
把本例的各组数据更换如下,再比较其大小关系:
（1）（ 2 ）0.5与（1 ）0.5；（2）（ 2 ）1与（ 3 ）1.
5
3
3
5
【解析】(1)因为幂函数y=x0.5在[0,+∞)上是单调递增的,又 2 1，所以
53
（ 2 ）0.5 （1 ）0.5.
5
3
(2)因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的,又 2＜所 以3，
【思考】 在区间(0,+∞)上,幂函数有怎样的单调性? 提示:幂函数在区间(0,+∞)上,当α>0时,y=xα是增函数;当α<0时,y=xα是减函 数.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1). ( )
(2)幂函数的图象都不过第二、四象限. ( )
2
【解题策略】 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即 函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量; (3)系数为1.
【补偿训练】
下列函数中是幂函数的是
()
①y= 1 ； ②y=axm(a,m为非零常数,且a≠1);
【解析】选C.只有y=3x不符合幂函数y=xα的形式.
3.已知幂函数 f（x）（m2－3）x－m 在（0, ）上为增函数,则实数m的值为 ()
A. 3
B.±2
C.2
D.-2
【解析】选D.由于 f（x）为幂函数,所以m2-3=1,m=±2,当m=2时, f（x）=x-2在
（0, ）上为减函数,不符合题意,当m=-2时 f（x）=x2在（0, ）上为增函数,符
35
（ 2 ）1 3
（ 3 ）1. 5
角度2 幂函数性质的综合应用 【典例】已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递减, 求满足 （a 1）m3 <（3 2a）m3 的a的取值范围. 【思路导引】根据函数的图象关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递减及m∈N*求出 m的值,代入不等式解不等式即可,解不等式时注意幂函数的定义域.
x2
【补偿训练】 在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax- 1 的图象可能是
a
()
类型三 幂函数性质的综合应用(数学抽象、逻辑推理)
角度1 比较大小
【典例】比较下列各组中幂值的大小:
(1)0.213,0.233;(2)
1
1
1.22 ,0.9 2
,
1.1.
【思路导引】构造幂函数,借助其单调性求解.
(3)y=
3
x2
与y=
6
x4
定义域相同. (
)
提示:(1)×,幂函数y= 不1 过点(0,0).
x
(2)×,幂函数y=x2过第二象限.
(3)×,y= 的3 定义域为[0,+∞),而y=
x2
的x定64 义域为R.
2.下列函数中不是幂函数的是 ( )
A.y= x C.y=3x
B.y=x3 D.y=x-1
x3
③y=
1
x5
+x4;④y=xn;⑤y=(x-6)3;⑥y=8x2;⑦y=x2+x.
A.①②③
B.①④
C.③④⑤⑥ D.②④⑦
【解析】选B.由幂函数的定义:形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数,则y= 1
x3
=x-3,y=xn是幂函数.
类型二 幂函数图象的应用(数学抽象、直观想象) 【题组训练】 1.函数y= 1 的图象是 ( )
合题意.
关键能力·合作学习
类型一 幂函数的概念(数学抽象) 【题组训练】 1.在函数y= 1 ，y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为 ( )
x4
A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2020·吉林高一检测)函数f(x)=(2m-3) xm23 是幂函数,则m的值为 () A.2 B.-1 C.0 D.1 3.已知幂函数f(x)=xα的图象过点（2， 2 ），则f(4)=________.
函数
解析式 y=x
增区间
_R_
减区间
无
定点
y=x2 _[_0_,_+_∞__)_ _(_-_∞__,_0_)_
y=x3
y= 1
x
_R_
无
_(_-_∞__,_0_)_,_
无
_(_0_,_+_∞__)_
_(_1_,_1__)_
无
(1)本质:幂函数的图象是函数的图形表示,幂函数的性质是根据函数图象总结 得到的. (2)应用:①求定义域;②求值域;③比较大小;④求单调区间.
y=x
y=x2
y=x3
y= 1
x
y=
1
x2
图象
定义域 值域
奇偶性
R R _奇__函数
R _[_0_,_+_∞__)_ _偶__函数
R R _奇__函数
_{_x_|_x_≠__0_}_ _{_y_|_y_≠__0_}_
_奇__函数
_[_0_,_+_∞__)_ _[_0_,_+_∞__)_ _非__奇__非__偶__
x3
2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的 大小关系是 ( )
A.d>c>b>a C.a>b>c>d
B.d>c>a>b D.a>b>d>c
3.已知幂函数f(x)=(m2-2m+1) xm2m2 的图象不过原点,则m的值为 ( ) A.0 B.-1 C.2 D.0或2 【解析】选A.由幂函数定义可知m2-2m+1=1, 所以m=0或m=2; 当m=0时,f(x)=x-2,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞); 当m=2时,f(x)=x4定义域为R; 又因为f(x)=(m2-2m+1x)m2m2 的图象不过原点; 所以m2+m-2<0,所以m=0.
【解题策略】 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图 象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴 (简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图 象(类似于y=x-1或y= 1 或y=x3)来判断.