第八章 目标规划
8.1请将下列目标规划问题数学模型的一般形式转换为各优先级的数学模型。
1、
min P1（dl-）＋P2（d2-）＋P2（d2+）＋P3（d3-）＋P3（ d3+）＋P4（d4-）
约束条件：
4 xl ≤680
4x2 ≤600
2 xl＋3x2－d1+ +d1-＝12
xl－x2－d2++d2-＝0
2 xl＋2x2－d3++d3-＝12
xl＋2x2－d4++d4-＝8
xl，x2，d1+，d1-，d2+，d2-，d3+，d3-，d4+，d4-≥0。
解：
这是一个四级目标规划问题：
第一级：
min dl-
S.T. 4 xl ≤680
4x2 ≤600
2 xl＋3x2－d1+ +d1-＝12
xl，x2，d1+，d1-≥0
第二级：
min d2-＋ d2+
S.T. 4 xl ≤680
4x2 ≤600
2 xl＋3x2－d1+ +d1-＝12
xl－x2－d2++d2-＝0
d1-＝第一级的最优结果
xl，x2，d1+，d1-，d2+，d2-≥0
第三级：
min d3-＋ d3+
S.T. 4 xl ≤680
4x2 ≤600
2 xl＋3x2－d1+ +d1-＝12
xl－x2－d2++d2-＝0
2 xl＋2x2－d3++d3-＝12
d1-＝第一级的最优结果
d2+，d2-＝第二级的最优结果
xl，x2，d1+，d1-，d2+，d2-，d3+，d3-≥0
第四级： min d4-
S.T. 4 xl ≤680
4x2 ≤600
2 xl＋3x2－d1+ +d1-＝12
xl－x2－d2++d2-＝0
2 xl＋2x2－d3++d3-＝12
xl＋2x2－d4++d4-＝8
d1-＝第一级的最优结果
d2+，d2-＝第二级的最优结果
d3+，d3-＝第三级的最优结果
xl，x2，d1+，d1-，d2+，d2-，d3+，d3-，d4+，d4-≥0
2、
min P1（dl-）＋P2（d2-）＋P2（d2+）＋P3（d3-）
约束条件：
12 xl＋9x2＋15x3－d1+ +d1-＝125
5xl＋3x2＋4x3－d2+ +d2-＝40
5 xl＋7x2＋8x3－d3+ +d3-＝55
xl，x2，x3，d1+，d1-，d2+，d2-，d3+，d3-≥0。
解：
这是一个三级目标规划问题：
第一级：
min dl-
S.T. 12 xl＋9x2＋15x3－d1+ +d1-＝125
xl，x2，x3，d1+，d1-≥0
第二级：
min d2-＋d2+
S.T. 12 xl＋9x2＋15x3－d1+ +d1-＝125
5xl＋3x2＋4x3－d2+ +d2-＝40
dl-＝第一级的最优结果
xl，x2，x3，d1+，d1-，d2+，d2-≥0
第三级：
min d3-
S.T. 12 xl＋9x2＋15x3－d1+ +d1-＝125
5xl＋3x2＋4x3－d2+ +d2-＝40
5 xl＋7x2＋8x3－d3+ +d3-＝55
dl-＝第一级的最优结果
d2+ ，d2-＝第二级的最优结果
xl，x2，x3，d1+，d1-，d2+，d2-，d3+，d3-≥0
8.2某企业生产A、B、C、三种不同规格的电子产品，三种产品的装配工作在同一生产线上完成，各种产品装配时消耗的工时分别为5、9和12小时，生产线每月正常台时为1500小时；三种产品销售出去后，每台可获得利润分别为450、550和700元；三种产品每月销售量预计分别为300、80和90台。
该厂经营目标如下：
P1------利润目标为每月150000元，争取超额完成。
P2------充分利用现有生产能力。
P3------可以适当加班，但加班时间不要超过100小时。
P4------产量以预计销量为标准。
试建立该问题的目标规划数学模型，并求解最合适的生产方案。
解：
先将问题的数据分析如下表：
产品A 产品B 产品C 机器正常台时
所需台时数（小时） 5 9 12 1500
产品利润（元/台） 450 550 700
预计销售量（如） 300 80 90
设三种产品的产量分别为xl、x2、x3。
首要目标是每月的利润为150000元。设偏差变量d1+、d1-为每月利润高于或低于150000元的部分。
所以有： min P1（d1-）
450xl＋550x2＋700x3－d1+ +d1-＝150000
其次目标是充分利用现有生产力，现有生产力只有提供的机器台时数。所以设偏差变量d2+、d2-为使用机器台时数超过或少于1500小时的部分。
有： min P2（d2-）
5xl＋9x2＋12x3－d2+ +d2-＝1500
再次目标是可以适当加班，但加班时间不要超过100小时。所以设偏差变量d3+、d3-为使用机器台时数超过或少于1600小时的部分。
有： min P3（d3+）
5xl＋9x2＋12x3－d3+ +d3-＝1600
最后目标是产量以预计销量为标准。所以设偏差变量d4+和d4-、d5+和d5-、d6+和d6-为分别代表产品A超过或少于120、产品B超过或少于80、产品C超过或少于90、的部分。
有： min P4（d4-＋d4+＋d5-＋d5+＋d6-＋d6+）
xl－d4+ +d4-＝300
x2－d5+ +d5-＝80
x3－d6+ +d6-＝90
所以得本问题的目标规划数学模型：
min P1（d1-）＋P2（d2-）＋P3（d3+）＋P4（d4-＋d4+＋d5-＋d5+＋d6-＋d6+）
S.T. 450xl＋550x2＋700x3－d1+ +d1-＝150000
5xl＋9x2＋12x3－d2+ +d2-＝1500 5xl＋9x2＋12x3－d3+ +d3-＝1600
xl－d4+ +d4-＝300
x2－d5+ +d5-＝80
x3－d6+ +d6-＝90
xi≥0 (i=1,2,3)
di+ 、di- ≥0 (i=1,2,3,4,5,6)
这是一个四级目标规划问题：
第一级：
min d1-
S.T. 450xl＋550x2＋700x3－d1+ +d1-＝150000
xi≥0 (i=1,2,3)
d1+ 、d1- ≥0
代入求解模板得结果：
即：最优解：（0，0，214.29）,最优值：min d1-＝0
第二级：
min d2-
S.T. 450xl＋550x2＋700x3－d1+ +d1-＝150000
5xl＋9x2＋12x3－d2+ +d2-＝1500
d1-＝0
xi≥0 (i=1,2,3)
di+ 、di- ≥0 (i=1,2)
代入求解模板得结果：
即：最优解：（333.33，0，0）,最优值：min d1-＝0，min d2-＝0
第三级：
min d3+
S.T. 450xl＋550x2＋700x3－d1+ +d1-＝150000
5xl＋9x2＋12x3－d2+ +d2-＝1500
5xl＋9x2＋12x3－d3+ +d3-＝1600
d1-＝0
d2-＝0
xi≥0 (i=1,2,3)
di+ 、di- ≥0 (i=1,2，3)
代入求解模板得结果：
即：最优解：（333.33，0，0）,最优值：min d1-＝0，min d2-＝0，min d3+＝66.667
第四级：
min d4-＋d4+＋d5-＋d5+＋d6-＋d6+
S.T. 450xl＋550x2＋700x3－d1+ +d1-＝150000
5xl＋9x2＋12x3－d2+ +d2-＝1500
5xl＋9x2＋12x3－d3+ +d3-＝1600
xl－d4+ +d4-＝300
x2－d5+ +d5-＝80
x3－d6+ +d6-＝90
d1-＝0
d2-＝0
d3+＝66.667
xi≥0 (i=1,2,3)
di+ 、di- ≥0 (i=1,2,3,4,5,6)
代入求解模板得结果：
即：最优解：（333.33，0.0001，0）,
最优值：min d1-＝0，min d2-＝0，min d3-＝66.667,
min d4-＝0, min d4+＝33.33
min d5-＝80, min d5+＝0
min d4-＝90, min d4+＝0
即安排生产的方案：
生产产品A33.33件，产品B和产品C不生产最合适。
若再加上产品是整数的特殊要求：
第一级：
min d1-
S.T. 450xl＋550x2＋700x3－d1+ +d1-＝150000
xi≥0 (i=1,2,3)
d1+ 、d1- ≥0
得最优解：（0，0，215）
最优值：d1-＝0
第二级：
min d2-
S.T. 450xl＋550x2＋700x3－d1+ +d1-＝150000
5xl＋9x2＋12x3－d2+ +d2-＝1500
d1-＝0
xi≥0 (i=1,2,3)
di+ 、di- ≥0 (i=1,2)
得最优解：（334，0，0）
最优值：d1-＝0，d2-＝0