解：已知c s，c0，c x代入上页公式得 erf（）=0.7143 查表得erf（0.8）=0.7421，erf（0.75）=0.7112，用 内差法可得β=0.755， x， D已知 因此，t=8567s=2.38h
例2：渗碳用钢及渗碳温度同上，求渗碳5h后 距表面0.5mm处的c含量。
解：已知c s，x，c0，D，t代入公式得 （0.9% - c x ）/0.7%=erf（0.521）=0.538 c x =0.52% 与例1比较可以看出，渗碳时间由2.38h增加到5h， 含0.2%c的碳钢表面0.5mm处的c含量仅由0.4% 增加到0.52%。
粒子跳跃势垒示意图
2.2 扩散动力学方程——菲克定律 2.2.1 菲克第一定律
1858年，菲克（Fick）参照了傅里叶 （Fourier）于1822年建立的导热方程， 获得了描述物质从高浓度区向低浓度区迁 移的量公式。
傅里叶导热方程
在导热现象中，单位时间内通过给定 截面的热量，正比例于垂直于该界面 方向上的温度变化率和截面面积，而 热量传递的方向则与温度升高的方向 相反。
（一） 一维稳态扩散 应用实例：气体通过金属膜的渗透过程。
氢对金属膜的一维稳态扩散
设金属膜两侧气压不变，是一个稳定扩散过程。 根据积分得：
ｃ J D( ) x
x x 0

J x dx
c c1
c c2

Ddc
Jx D
c2 c1

因为气体在金属膜中的溶解度与气体压力 有关，令c kP ，而且通常在金属膜两测 的气体压力容易测出。因此上述扩散过程 可方便地用通过金属膜的气体量F表示：
第一节
引 言
就固体中原子（或离子）的运动而论，有两 种不同的方式。一种为大量原子集体的协同运 动，或称机械运动；另一种为无规则的热运动， 其中包括热振动和跳跃迁移。 扩散是由于大量原子的热运动引起的物质的 宏观迁移。
第一节 概述
扩散的现象与本质 柯肯达尔效应
B原子比A原子具有更快的扩散速度，使扩散偶的B侧向 A侧发生了物质净输运。
C ( x, t ) Cs (Cs C0 )erf ( x ) 2 Dt
简化为
cs cx x erf ( ) cs c0 2 Dt
例1：含0.20%碳的碳钢在927 ℃进行气体渗碳。 假定表面C含量增加到0.9%，试求距表面0.5mm 处的C含量达0.4%所需的时间。已知D972=1.28 ×10 -11 m2/s
扩散过程中溶质原子的分布
溶质原子流动的方向与浓度降低的方向一致
Fourier定律不涉及传热时间项, 定律本身隐含了热传播速度为无 限大的假设。对于热作用时间较长的稳态传热过程,Fourier 定律 的正确性是毋庸置疑的。但是,对于极端热、质传递条件下的非稳 态传热过程,如极低(高) 温条件的传热(质) 问题、超急速传热(质) 问题以及微时间或微空间尺度条件下的传热(质) 问题,热传播速度 的有限性却必须考虑，人们把在极端热、质传递条件下出现的一 些不遵循(或偏离)Fouirier导热定律的热传递效应称为热传导的非 傅立叶效应.
2.1.2 空位机制 绝对零度以上热平衡晶体 总存在一定数量的空位。 在扩散过程中，扩散原子 离开原位置进入空位，原 位置便形成新的空位，从 而形成扩散原子与空位的 逆向流动。 科肯达尔效应即是空位扩散的结果。
2.1.3 填隙机制（亚（准）间隙扩散）
本应处于阵点位置的原子出现在间隙中，获得一定能 量后将邻近的阵点原子挤入间隙并取而代之。 一般情况下这类缺陷浓度较低，对扩散贡献不大。 但辐照和加热可提高这类缺陷，增强扩散。
2.1 固体扩散机构 (扩散微观机制) 与气体、液体不同的是固体粒子间很大 的内聚力使粒子迁移必须克服一定势垒， 这使得迁移和混和过程变得极为缓慢。然 而迁移仍然是可能的。
扩散机制：扩散可分为间隙机制、空位 机制、填隙机制和换位机制四种。
2.1.1 间隙机制 当晶体中存在较小的间隙原 子时，间隙原子通过晶格之 间的间隙跃迁实现扩散。 这是一种重要的扩散机制。 扩散物可以是原子，也可以 是离子。
Cs
Ｉ X＝0
C0
X>0
此时，Fick’s second law的初始、边界条件应为 t=0，x ＞0，c= Ｃ0 Cs t ≧ 0，x=0，c= Cs Ｉ C0 x=无穷大，c= C0 X>0 X＝0 满足上述边界条件的解为
x C ( x, t ) Cs (Cs C0 )erf ( ) （1 ） 2 Dt
λ是比例系数，称为导热系数。
Q T q － At x
热通量——是单位时间，单位面 积传递的热量。
dG ｃ J D( ) Adt x
扩散通量——单位时间内通过单位横截面的粒 子数。用J表示，为矢量。
扩散具有方向性，且是各个方向的，故J 用矢量表示：
J iJ x jJ y kJ z c c c D (i j k ) x y z
Dk ( P2 P 1) A F JxA l
（二）不稳态扩散
非稳态扩散，求解菲克第二定律方程，可得c(x,t), 偏微分方程的解只能根据所讨论的初始条件和边 界条件而定，过程的条件不同，方程的解也不同。 一般情况下，Ｄ为常数时，解符合以下两种形式： （１）若扩散路程相对初始不均匀性的尺度来说 是短小的，则浓度分布作为路程和时间的函数， 可用误差函数很简单的表示出来。所谓短时解。 （２）扩散接近于完全均匀时，c(x,t)可用无穷三 角级数的第一项表示。所谓长时解。
（3） 按原子的扩散方向分： 在晶粒内部进行的扩散称为体扩散；在 表面进行的扩散称为表面扩散；沿晶界进 行的扩散称为晶界扩散。 表面扩散和晶界扩散的扩散速度比体扩 散要快得多，一般称后两种情况为短路扩 散。此外还有沿位错线的扩散，沿层错面 的扩散等。
第二节 固体扩散机构及其动力学方程
固体扩散机构 扩散动力学方程——菲克定律
即菲克第二定律。
菲克第一定律和菲克第二定律本质相同，均表明扩散的 结果是使不均匀达到均匀，非平衡逐渐达到平衡。
ｃ J D( ) x
C 2C D 2 t x
2.2.3 扩散方程的应用
对于扩散的实际问题，一般要求算出 穿过某一曲面（如平面、柱面、球面等）的 通量J，单位时间通过该面的物质量 dm/dt=AJ，以及浓度分布c(x,t)，为此需要 分别求解菲克第一定律及菲克第二定律。
c1 c2 c1 c2 x c ( x, t ) erf ( ) 2 2 2 Dt
曲线如上图。
应用： 钢件渗碳可作为半无限长物体扩散问题处理。 进行气体渗碳时，零件放入温度约为930 ℃的炉 内，炉中通以富C的气体（如CH4）或其他碳氢 化合物类气体。来自炉气中的C扩散进入零件的 表面，使表层的含C量增加。 可用下式解，
0

物质从高化学位流向低化学位是更普遍的规律， 一切影响扩散的外场——浓度场、电场、磁场、 应力场等，都可统一到化学位梯度之中，根据 热力学第二定律，化学位梯度为零是扩散过程 的限度。
1.2 扩散分类
（1）按浓度均匀程度分： 有浓度差的空间扩散叫互扩散；没有浓度 差的扩散叫自扩散。
（2） 按扩散方向分： 由高浓度区向低浓度区的扩散叫顺扩散， 又称下坡扩散; 由低浓度区向高浓度区的扩散 叫逆扩散，又称上坡扩散。
2.1.4 换位机制 分直接换位和环形换位两种。由于需要 多个原子协同运动，所需能量较高。
讨论：
根据迁移所需要的能量，在以上各种 扩散中： 1.易位扩散所需的活化能最大。
2.由于处于晶格位置的粒子势能最低， 在间隙位置和空位处势能较高：故空 位扩散所需活化能最小，因而空位扩 散是最常见的扩散机理，其次是间隙 扩散和准间隙扩散。
式中erf（β）为误差函数，可由表查出。

误差函数计算：（见课本Ｐ２３２）
x x erfc( ) 1 erf ( ) 2 Dt 2 Dt erf () 1 erf ( ) erf ( )
对同一类问题的其它边界条件，也可用此法 求解。 Ａ．如试样中起始时无扩散相，条件为 t=0，x ＞0，c= ０ t ≧ 0，x=0，c= Cs ’ 则解为：
菲克第一定律
在扩散现象中，单位时间内通过给定 截面的物质的量，正比例于垂直于该 界面方向上的浓度梯度和截面面积， 而物质迁移的方向则与浓度升高的方 向相反。
T Q － At x T Q － At x
c G － At x
ｃ dG D( ) Adt x
D是比例系数，称为扩散系数。
同样菲克第一定律也不涉及时间项，适用于稳定扩散，即在垂 直扩散方向的任一平面上，单位时间通过该平面单位面积的粒 子数一定，即任一点的浓度不随时间而变化。
C 0, J const t
而对于扩散物质在扩散介质中浓度随时间发生变化，扩散通量 与位置有关的不稳定扩散，需要用菲克第二定律来描述。
2.2.2 菲克第二定律
1.1 扩散能够进行的原因：扩散推动力
当不存在外场时，晶体中粒子的迁移完 全是由于热振动引起的。 只有在外场作用下，这种粒子的迁移才 能形成定向的扩散流。也就是说，形成定 向扩散流必需要有推动力，这种推动力通 常是由浓度梯度提供的。
Q235钢板偏析
黄铜合金的成分偏析

但应指出，在更普遍情况下，扩散推动力应是 系统的化学位梯度.

C ( x, t ) Cs '[1 erf ( x )] 2 Dt
Ｂ．如周围环境保持Cs=0，而试样起始浓度为 C0 解为
x C ( x, t ) C0 erf ( ) 2 Dt
Ｃ．如图，两个浓度分别是C1、C2的棒接在一起， C2>C1，则形成从A向B经过界面的扩散流
图7
这时，方程的初始、边界条件应为 t=0，x ＞0，c= c1 x＜ 0，c= c2 t ≧ 0，x= ∞ ，c= C1 x= -∞ ，c= C2 满足上述初始、边界条件的解为