2
ARIMA模型的概念
一. 移动平均过程 1. 移动平均（MA）过程的表示：

Yt=u+ t+ 1 t-1+ 2 t-2+...+ q t-q
其中u为常数项，为白噪音过程 引入滞后算子L，原式可以写成:
Yt=u+ iLi t+ t 或者 Yt=u+ (L) t
i=1
4
3.自协方差
ARIMA模型的概念
二. 自回归（AR）过程 1.自回归（AR）过程表示为：

Yt=c+1Yt-1+ 2Yt-2+...+ pYt-p+vt 其中为 vt 为白噪音过程
引入滞后算子，则原式可写成
(L)Yt=c+vt
其中
(L)=1- 1L- 2L2 -...- pLp
10
ARIMA模型的概念
3.ARMA(p, q)过程的特征

E(Yt)= 1）
c 1 ( 1 2 ... p)

2）ARMA(p, q)过程的方差和协方差
11
ARIMA模型的概念
四. AR、MA过程的相互转化



结论一：平稳的AR(p)过程可以转化为一个MA(∞)过程， 可采用递归迭代法完成转化 结论二：特征方程根都落在单位圆外的 MA(q)过程具 有可逆性 平稳性和可逆性的概念在数学语言上是完全等价的， 所不同的是，前者是对AR过程而言的，而后者是对 MA过程而言的。

其中 ut 为零均值白噪音过程
Yt+1=c+ 1Yt+ 2Yt-1+ut+1

……
Yt+2=c+ 1Yt+1+ 2Yt+ut+2
31
ARMA模型的预测

在t时刻，预测 Yt+1 的值： ft,1=E(Yt+1 It) = c+ 1Yt-1+ 2Yt-2 在t时刻，预测 Yt+2 的值：
12
二、Box-Jenkins方法论

建立回归模型时，应遵循节俭性 (parsimony)的原则 博克斯和詹金斯(Box and Jenkins)提出了 在节俭性原则下建立ARMA模型的系统 方法论,即Box-Jenkins方法论

13
Box-Jenkins方法论
Box-Jenkins方法论 的步骤：
23
ARMA模型的识别
⑷ARMA(p,q)过程的自相关函数和偏自相 关函数

ARMA过程的自相关函数和偏自相关函数都是 拖尾的 如下图：

24
ARIMA模型的识别
y t =0.5y t-1 0.5u t-1 u t
25
ARMA模型的识别
3. 利用自相关函数、偏自相关函数对 ARMA模型进行识别


步骤1：模型识别 步骤2：模型估计 步骤3：模型的诊断检验 步骤4：模型预测
14
三、ARMA模型的识别、估计、诊断、预测
(一).ARMA模型的识别 1. 识别ARMA模型的两个工具：



自相关函数(autocorrelation function,简记为 ACF）； 偏自相关函数(partial autocorrelation function,简 记为PACF) 以及它们各自的相关图（即ACF、PACF相对 于滞后长度描图）。
35
ARMA模型的估计
36
利用ARMA模型进行预测

用dynamic方法估计2003年1月到2005年1月的w2
37
利用ARMA模型进行预测

利用“static”方法估计2004年1月到2005年1月的w2
38

⑴通过ADF检验，来判断序列过程的平稳性； ⑵利用自相关函数、偏自相关函数以及它们的 图形来确定p, q的值。
26
（二）ARMA模型的估计
ARMA模型的估计方法：

矩估计 极大似然估计 非线性估计 最小二乘估计
27
（三）ARMA模型的诊断
一. 诊断的含义 二. 诊断的方法 三. 检验统计量
ARMA模型的概念和构造
1
一、ARIMA模型的基本内涵
一、ARMA模型的概念 自回归移动平均模型（autoregressive moving average models,简记为ARMA模 型），由因变量对它的滞后值以及随机 误差项的现值和滞后值回归得到。 包括移动平均过程（MA）、自回归过程 （AR）、自回归移动平均过程 （ARMA）。
q
(L)=1+ 1L+ 2L2 ... qLq
3
ARIMA模型的概念
2.MA（q）过程的特征 1. E(Yt)=u

2.
var(Yt) (1 1 2
2
2
... q 2 ) 2

①当k>q时 k ＝0 k =( k 1 k+1 2 k+2 ... q q-k) 2 ②当k<q时 对于任意的，MA(q)是平稳的。
j=0 1 1≤j≤q ACF( j) ( j 1 j+1 2 j+2 ... q q-j) (1 12 2 2 ... q 2 ) 0 j>q

j>q时，ACF(j)=0，此现象为截尾，是MA(q)过程的一个特征 如下图：
……
2
1= 1 0+ 2 1+...+ p p-1
p=1 p-1+ 2 p-2+...+ p 0

将上述p+1个方程联立，得到所谓的Yule-Walker方程 组，共p+1个方程，p+1个未知数，得出AR（p）过程 的方差及各级协方差。
8
ARIMA模型的概念
三. 自回归移动平均（ARMA）过程
1. ARMA过程的形式
Yt=c+1Yt-1+ 2Yt-2+...+ pYt-p+ 1 t-1+ 2 t-2+...+ q t-q+ t 其中 t 为白噪音过程。

若引入滞后算子，可以写成
(L)Yt=c+ (L) t

其中
(L)=1- 1L- 2L2 -...- pLp
15
ARMA模型的识别
2. 自相关函数和偏自相关函数的概念
①自相关函数 j j 0 ， 过程 Y t的第j阶自相关系数即 自相关函数记为ACF(j) 。 ②偏自相关函数

* j 度量了消除中间滞后项影响 偏自相关系数
后两滞后变量之间的相关关系。偏自相关函数 记为PACF(j)
20
ARMA模型的识别
y t =0.5y t-1 u t
21
ARMA模型的识别
y t =y t-1 u t
22
ARMA模型的识别
⑶AR(p)过程的自相关函数以及MA(q)过程的偏
自相关函数


平稳的AR(P)过程可以转化为一个MA(∞）过程，则 AR(P)过程的自相关函数是拖尾的 一个可逆的MA(q)过程可转化为一个AR(∞）过程，因 此其偏自相关函数是拖尾的。
18
ARMA模型的识别

y t =0.5u t-1 0.3u t 2 u t
MA 2 （ ） 过 程
19
ARMA模型的识别
⑵ AR(p)过程的偏自相关函数


j p 时，偏自相关函数的取值不为0
j>q 时，偏自相关函数的取值为0
AR(p)过程的偏自相关函数p阶截尾 如下图：


Box和Pierce提出的Q统计量 Ljung和Box(1978)提出的LB统计量。
28
ARIMA模型的诊断
1. Q统计量
m 2

ˆ Q=n k k=1 分布 其中n为样本容量，m为滞后长度
ˆ LB=n(n+2) (
k=1 m 2
2 (m) ，近似服从 （大样本中）
2. LB统计量

E(vt) =0， Yt、Yt-1、Yt-2、...Yt-p 的无条
件期望是相等的，若设为u，则得到 :
u=
c 1 ( 1 2 ... p)
7
ARIMA模型的概念
Yt-u=1(Yt-1-u)+ 2(Yt-2-u)+...+ p(Yt-p-u)+vt
0= 1 1+ 2 2+...+ p p+
5
ARIMA模型的概念
2. AR(p)过程平稳的条件
如果特征方程：
1- 1Z- 2Z2 -...- pZp 0
的根全部落在单位圆之外，则该AR(p)过程是 平稳的
6
ARIMA模型的概念
3. AR(p)过程的特征

E(Yt)=c+1E(Yt-1)+ 2E(Yt-2)+...+ pE(Yt-p)+E(vt)
2

Hannan-Quinn 信息准则 HQIC=log( 2 ) 2k log(log T) ˆ
T

ˆ 2 为残差平方， 其中
的个数，T为样本容量。
k=p+q+1 是所有估计参数
30
ARMA模型的预测
一. 基于AR模型的预测

以平稳的AR(2)过程为例：
Yt=c+ 1Yt-1+ 2Yt-2+ut