er
e x
因为
e x
e x
er
e x
x x
x
e(x x)
(e )2
xx x ( x e )
( 1
e x
)2
e x
相对误差也可正可负
相对误差限——相对误差的绝对值的上界
r
/* relative accuracy */
e x
x x x
r
Def 1.3 （有效数字/*Significant Digits*/ ）
0
e
记为
I
* 0
则初始误差
E0
I0
I
0
0.5 108
此公式精确成立
1
e
1 0
xn
e0
dx
In
1 e
1 x n e1 dx
0
1 e(n 1 )
In
1 n1
I 1
1
1
I 0
0.36787944
... ... ... ...
I 10
1
10
I 9
0.08812800
I 11
1 11
I 10
0.03059200
求函数y y(x)在某些点
xi
n i 1
的近似函数值
数学问题 数值问题
数值问题的来源：
实际 问题
建立数学模型
数值 求解 问题
设计高效、可 靠的数值方法
数值 问题
重点讨论
近似结果
输出
上机 计算
程序 设计
可 收敛性：方法的可行性
则数
靠 性
稳定性：初始数据等产生的误差对结果的影响
值分
方 析 误差估计：运算结果不能产生太大的偏差且
若近似值 x与准确值的误差绝对值不超过某一位的
半个单位，该位到 x的第一位非零数字共有n位，则 称 x有n位有效数字
如： 3.1415926 3.141592
3.14 e 1 102 3位
e 1 105 6位
2
2
➢有效数字(另外一种定义形式) 规格化形式
用科学计数法，记 x 0.a1a2
数值分析原理 封建湖、车刚明、聂玉峰 编著
（科学出版社，2001年）
• 提问：数值计算方法是做什么用的？
研究对象：数值问题——有限个输入数据（问题的自
变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之 间函数关系的一个明确无歧义的描述。
如一阶微分方程初值问题
dy 2x dx y(0) 1
求函数解析表达式 y y(x)
I 12
1
12
I 11
0.63289600
I 13
1
13
I 12
7.2276480
I 14
1
14
I 13
94.959424
I 15
1
15
I 14
1423.3914
What happened
?!
考察第n步的误差 En
|
En
|
|
In
I
n
|
|
(1
nIn1
)
(1
nI
n1
)
|Байду номын сангаас
n
|E
n1|
n !| E0
Ax b
i 2,3, , n
中国石油大学（华东） 理学院
制作:刘新海
教材 (Text Book)
数值计算方法（第二版） 李维国、同登科主编
（中国石油大学出版社，2009年）
参考书目 (Reference) ➢数值计算方法 (上、下册) 林成森 编著
（科学出版社 1998年）
➢ Principle of Numerical Analysis
➢ 2、通过观测得到模型中某些参数（或物理量）的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */
➢ 3、数学模型与数值算法之间的误差求近似解 —— 方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ )
➢ 4、由于机器字长有限，原始数据和计算过程会产生新的误差 —— 舍入误差 /* Roundoff Error */
法 的
能够控制误差
设 计
便于编程实现：逻辑复杂度要小
原
计 算
计算量要小：时间复杂度要小，运行时间要短
复
杂 存贮量要尽量小：空间复杂度要小 性
§1 误 差 /* Error */
一、 误差的来源与分类 /* Source & Classification */
➢ 1、从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 /* Modeling Error */
m Z , a1, a2 , , an 若0,1, , 9
其（a中|即nx1的0xm，截|取0.5按a四110舍m0五n
入规则an），则称 为有 位有效数字，精确x到 。n
10mn
例1： 3.1415926535897932L L ; 3.1415
问： 有几位有效数字？请证明你的结论。
它是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也 就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算 都将产生不稳定性。
例2
计算
In
1 e
1 xne xdx,
0
n 0,1, 2, ......
公式一：I n
1 [xnex e
1 0
n
1 0
x n1e xdx]
1
n
I n1
1
I0 e
1
e
xdx
1
1
0.63212056
e x x 如： 3.14159
1 105 ( 3.1415926 )
2
绝对误差还不能完全表示近似值的好坏
Def 1.2 （相对误差/* relative error */ ）
近似值 x 的误差 e与准确值 x 的比值：
e x x
xx
称为近似值 x 的相对误差，记作
注： 实际计算时，相对误差通常取
证明： π* 0.31415101 ,
and |π * π| 0.5 103 0.5 1014
* 有4 位有效数字，精确到小数点后第 3位。
注：（1）数字末尾的0不可随意省去！
（2）若 x 的每一位都是有效数字，则 x 称是有效数
特别，经“四舍五入”得到的数均为有效数
三、数值算法及稳定性 /* Numerical Algorithm and Stability */
Def 1.4 （数值稳定性/* Numerical Stability */）
一个算法如果输入数据有扰动（即误差），而计算过 程中舍入误差不增长,则称此算法是数值稳定的，否则此 算法就称为不稳定的。
Def 1.5 （病态问题/* ill-posed problem */）
对数学问题本身如果输入数据有微小扰动，引起输 出数据（即问题真解）的很大扰动，这就是病态问题。
二、 误差分析的基本概念 /* Basic Concepts */
Def 1.1（绝对误差/* absolute error */）
设 x 为真值（精确值），x 为 x 的一个近似值 称e x x 为近似值 x的绝对误差，简称误差。
注：误差可正可负，常常是无限位的
绝对误差限/* accuracy */ ——绝对值的上界
|
初始的小扰动 | E0 | 0.5108迅速积累，误差快速递增。