2019年山东省青岛市城阳区中考数学一模试卷一、选择题1．2-的倒数是( ) A ．2B ．2-C ．12D ．12-2．“清明”小长假3天，青岛地铁共运送乘客274万人次，274万用科学记数法表示为( )A ．42.7410⨯B ．52.7410⨯C ．62.7410⨯D ．72.7410⨯3．下列运算错误的是( ) A ．23a a a +=B ．236()a a =C ．235a a a =D ．632a a a ÷=4．如果将一根圆柱形管道按如图方式摆放，那么其左视图是( )A ．B ．C ．D ．5．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆位于第二象限，点A 的坐标是(2,3)-，先把ABC ∆向右平移5个单位长度得到△111A B C ，再作△111A B C 关于x 轴对称的△222A B C ，则点A 的对应点2A 的坐标是( )A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(2,3)-D ．(3,3)6．已知点1(2,)y -，2(1,)y -，3(1,)y 都在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，那么1y ，2y 与3y 的大小关系是( )A ．312y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．132y y y <<7．如图，AB 是O 的直径，C 、D 是O 上的点，若54ABC ∠=︒，则BDC ∠等于()A ．36︒B ．54︒C ．72︒D ．108︒8．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，且关于x 的一元二次方程20ax bx c m ++-=没有实数根，则下列结论：①240b ac ->；②0ac <；③2m >，其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）请将9-14各小题的答案填写在答题纸规定的位置. 9．计算：2055+= ．10．为了解某社区居民的用电情况，某数学活动小组随机对该社区20户居民进行了调查，下表是这20户居民某月用电量的调查结果： 月用电量（千瓦时）60 80 100 120 140 户数（户)23582则这20户居民该月用电量的中位数是 千瓦时，平均数是 千瓦时．11．某施工队接到修建地铁360米的任务，修建方案制定后，该工程队为了尽快完成任务，在保证修建质量的前提下提高了工作效率，实际工作效率是原计划工作效率的1.5倍，结果提前20天完成任务．求原计划每天修地铁多少米？如果设原计划每天修地铁x 米，那么根据题意，可列方程为 ．12．如图，在ABC ∆中，点D ，点E 分别是AB ，AC 的中点，点F 是DE 上一点，90AFC ∠=︒，10BC cm =，6AC cm =，则DF = cm ．13．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将BCF ∆沿BF 对折，得到BPF ∆，延长FP 交BA 延长线于点Q ，下列结论①AE BF =；②AE BF ⊥；③2BGE ECFG S S ∆=四边形．正确的有 ．（填正确结论的序号）14．如图，10个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过(2,0)A 点的一条直线l 将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l 的解析式为 ．三、作图题（本题满分4分）15．用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹．如图：OA、OB表示两条道路，在OB上有一车站（用点P表示）．现在要在两条道路形成的角的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且到点P所表示的车站距离最短．请在图中作出报亭的位置．四、解答题（本题共有9道小题，满分74分）16．计算（1）化简：22 11()x y x y xy--÷（2）解不等式组：3(1)5151733x xx x+<⎧⎪⎨--⎪⎩17．新交通法规实施以来，为了解某社区居民遵守交通法规情况，小明随机选取部分居民就“行人闯红灯现象”进行问卷调查，调查分为“A：从不闯红灯；B：偶尔闯红灯；C：经常闯红灯；D：其他”四种情况，并根据调查结果绘制出部分条形统计图（如图1)和部分扇形统计图（如图2)．请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查共选取名居民；（2）求出扇形统计图中“C ”所对扇形的圆心角是 度，并将条形统计图补充完整； （3）如果该社区共有居民2600人，估计有多少人从不闯红灯？（请计算说明）18．小明与小亮玩游戏，如图，两组相同的纸牌，每组三张，牌面数字分别是3，4，5．他们将纸牌背面朝上，充分洗匀后，从每组纸牌中各摸出一张，称为一次游戏．当摸出的两张纸牌的牌面数字之和大于8，则小明获胜；当摸出的两张纸牌的牌面数字之和小于8，则小亮获胜．（1）请你用列表法或画树状图求出小明获胜的概率． （2）这个游戏公平吗？请说明理由．19．如图，是一座人行天桥示意图，天桥离地面的高BC 是10m ，坡面AC 的倾斜角45CAB ∠=︒，在距离A 点12m 处有一建筑物HQ ．为方便行人过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面CD 的倾斜角37CDB ∠=︒，若新坡面下D 处需留至少4m 人行道，则该建筑物HQ 是否需要拆除？请通过计算说明理由．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375︒≈，3tan 37)4︒≈20．某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A 型、B 型两种型号的放大镜，若购买8个A 型放大镜和5个B 型放大镜需用440元；若购买4个A 型放大镜和6个B 型放大镜需用304元．（1）求每个A 型放大镜和每个B 型放大镜各多少元？（2）该中学决定购买A 型和B 型放大镜共75个，总费用不超过2360元，则最多可以购买多少个A 型放大镜？21．已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，且AE CF =，点G ，H 在对角线BD 上，且BG DH =．（1）求证：BFH DEG ∆≅∆；（2）连接DF ，若DF BF =，则四边形EGFH 是什么特殊四边形？证明你的结论．22．某商场根据市民需要，销售一种防尘口罩，进货价为20元/个．经市场销售发现：售价为30元/个时，每周可售出200个，每涨价1元，就少售出5个．若供货厂家规定市场售价不得低于30元/个，且商场每周要完成不少于130个的销售任务． （1）确定周销售量y （个)与售价x （元/个）之间的函数关系式；（2）确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w （元)与售价x （元/个）之间的函数关系式；（3）当售价x （元/个）定为多少时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w （元)最大？最大利润是多少？23．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若(0,1)x a N a a =>≠，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：记作：log a x N =．比如指数式4216=可以转化为24log 16=，对数式52log 25=可以转化为2525=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log ()log log (0a a a M N M N a =+>，1a ≠，0M >，0)N >；理由如下：log a M m =，log a N n =，则m M a =，n N a =m n m n M N a a a +∴==，由对数的定义得log ()a m n M N +=又log log a a m n M N +=+ log ()log log a a a M N M N ∴=+解决以下问题：（1）将指数式35125=转化为对数式 ；（2）2log 4= ，3log 81= ，4log 64 ．（直接写出结果） （3）证明：证明log a log log (0a a MM N a N=->，1a ≠，0M >，0)N >．（写出证明过程）（4）拓展运用：计算计算333log 4log 12log 16+-= ．（直接写出结果）24．已知：如图，在等边ABC ∆中，6AB cm =，AD BC ⊥于点D ，动点F 从点C 出发，沿CB 方向以1/cm s 的速度向点D 运动；同时，动点P 也从点C 出发，沿CA 方向以3/cm s 的速度向点A 运动，过点P 作//PE BC ，与边AB 交于点E ，与AD 交于点G ，连结ED ，PF ．设运动的时间为()(02)t s t <<．（1）当t 为何值时，四边形EDFP 为平行四边形？（2）设四边形EDFP 面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式； （3）连结PD 、EF ，当t 为何值时，PD EF ⊥？参考答案一、单选题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）请将1-8各小题所选答案的标号涂在答题纸规定的位置. 1．2-的倒数是( ) A ．2B ．2-C ．12D ．12-【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 解：12()12-⨯-=，2∴-的倒数是12-．故选：D ．2．“清明”小长假3天，青岛地铁共运送乘客274万人次，274万用科学记数法表示为( )A ．42.7410⨯B ．52.7410⨯C ．62.7410⨯D ．72.7410⨯【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数． 解：274万62740000 2.7410==⨯． 故选：C ．3．下列运算错误的是( ) A ．23a a a +=B ．236()a a =C ．235a a a =D ．632a a a ÷=【分析】根据同底数幂的除法、乘法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可． 解：23a a a +=， ∴选项A 不符合题意；236()a a =，∴选项B 不符合题意；235a a a =， ∴选项C 不符合题意；633a a a ÷=， ∴选项D 符合题意．故选：D ．4．如果将一根圆柱形管道按如图方式摆放，那么其左视图是( )A ．B ．C ．D ．【分析】左视图是从左边看所得到的图形，据此即可得出答案． 解：它的左视图是一个矩形，矩形里面有两条横向的虚线． 故选：C ．5．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆位于第二象限，点A 的坐标是(2,3)-，先把ABC ∆向右平移5个单位长度得到△111A B C ，再作△111A B C 关于x 轴对称的△222A B C ，则点A 的对应点2A 的坐标是( )A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(2,3)-D ．(3,3)【分析】首先利用平移的性质得到△111A B C ，进而利用关于x 轴对称点的性质得到△222A B C ，即可得出答案．解：如图所示：点A 的对应点2A 的坐标是：(3,3)-．故选：B ．6．已知点1(2,)y -，2(1,)y -，3(1,)y 都在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，那么1y ，2y 与3y 的大小关系是( )A ．312y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．132y y y <<【分析】先根据反比例函数中0k <判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 解：反比例函数(0)ky k x=<中0k <，∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y 随x 的增大而增大，20-<，10-<，∴点1(2,)y -，2(1,)y -位于第二象限，10y ∴>，20y >，21-<-， 120y y ∴<<． 10>，3(1,)y ∴在第四象限， 30y ∴<，312y y y ∴<<．故选：A ． 7．如图，AB 是O 的直径，C 、D 是O 上的点，若54ABC ∠=︒，则BDC ∠等于()A ．36︒B ．54︒C ．72︒D ．108︒【分析】由AB 是O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得90ACB ∠=︒，求得A ∠的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得BDC ∠的度数．解：连接AC ，如图所示： AB 是O 的直径， 90ACB ∴∠=︒， 54ABC ∠=︒，9036BAC ABC ∴∠=︒-∠=︒， 36BDC BAC ∴∠=∠=︒．故选：A ．8．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，且关于x 的一元二次方程20ax bx c m ++-=没有实数根，则下列结论：①240b ac ->；②0ac <；③2m >，其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中的各个小题是否成立，从而可以解答本题．解：由二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴两个交点，可得240b ac ->，故①正确， 由二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象可知0a <，0c >，则0ac <，故②正确， 由二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象可知该函数有最大值，最大值是2y =， 关于x 的一元二次方程20ax bx c m ++-=没有实数根，则2m >，故③正确， 故选：D ．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）请将9-14各小题的答案填写在答题纸规定的位置. 92055+= 3 ．20解：原式2555+=355=3=．故答案为：3．10．为了解某社区居民的用电情况，某数学活动小组随机对该社区20户居民进行了调查，下表是这20户居民某月用电量的调查结果： 月用电量（千瓦时）60 80 100 120 140 户数（户)23582则这20户居民该月用电量的中位数是 110 千瓦时，平均数是 千瓦时．【分析】根据加权平均数的定义计算平均数，中位数应是第10个和第11个数据的平均数． 解：1(602803100512081402)10520⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（千瓦时）， 第10个和第11个数据分别是100和120千瓦时，所以中位数为110千瓦时． 故答案为110，105．11．某施工队接到修建地铁360米的任务，修建方案制定后，该工程队为了尽快完成任务，在保证修建质量的前提下提高了工作效率，实际工作效率是原计划工作效率的1.5倍，结果提前20天完成任务．求原计划每天修地铁多少米？如果设原计划每天修地铁x 米，那么根据题意，可列方程为360360201.5x x-= ． 【分析】设原计划每天修地铁x 米，则实际每天修地铁1.5x 米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前20天完成任务，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 解：设原计划每天修地铁x 米，则实际每天修地铁1.5x 米， 依题意，得：360360201.5x x-=． 故答案为：360360201.5x x-=． 12．如图，在ABC ∆中，点D ，点E 分别是AB ，AC 的中点，点F 是DE 上一点，90AFC ∠=︒，10BC cm =，6AC cm =，则DF = 2 cm ．【分析】方法一：延长AF 交BC 于H ，根据DE 是ABC ∆的中位线判断出AF FH =，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CH AC =，然后求出BH ，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答．方法二：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DE ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出EF ，然后根据DF DE EF =-计算即可得解． 解：方法一：如图，延长AF 交BC 于H ， 点D ，点E 分别是AB ，AC 的中点， DE ∴是ABC ∆的中位线， AF FH ∴=， 90AFC ∠=︒， CF ∴垂直平分AH ， 6CH AC cm ∴==， 10BC cm =，1064BH BC CH cm ∴=-=-=，在ABH ∆中，DF 是中位线， 114222DF BH cm ∴==⨯=； 方法二：点D ，点E 分别是AB ，AC 的中点， DE ∴是ABC ∆的中位线， 1110522DE BC cm ∴==⨯=， 90AFC ∠=︒，E 是AC 的中点，116322EF AC cm ∴==⨯=， 532DF DE EF cm ∴=-=-=．故答案为：2．13．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将BCF ∆沿BF 对折，得到BPF ∆，延长FP 交BA 延长线于点Q ，下列结论①AE BF =；②AE BF ⊥；③2BGE ECFG S S ∆=四边形．正确的有 ①② ．（填正确结论的序号）【分析】首先证明ABE BCF ∆≅∆，再利用角的关系求得90BGE ∠=︒，即可得到①AE BF =；②AE BF ⊥；根据AA 可证BGE ∆与BCF ∆相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解． 解：E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，CF BE ∴=，在ABE ∆和BCF ∆中，AB BCABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，Rt ABE Rt BCF(SAS)∴∆≅∆，BAE CBF ∴∠=∠，AE BF =，故①正确；又90BAE BEA ∠+∠=︒， 90CBF BEA ∴∠+∠=︒， 90BGE ∴∠=︒，AE BF ∴⊥，故②正确；BGE BCF ∠=∠，GBE CBF ∠=∠， BGE BCF ∴∆∆∽，12BE BC =，52BF =， :5BE BF ∴=，BGE ∴∆的面积：BCF ∆的面积1:5=，4BGE ECFG S S ∆∴=四边形，故③错误．故答案为：①②．14．如图，10个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过(2,0)A 点的一条直线l 将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l 的解析式为 992y x =- ．【分析】假设直线AB 将这10个正方形分成面积相等的两部分，设(2,3)B a +，利用面积构建方程求出点B 的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．解：假设直线AB 将这10个正方形分成面积相等的两部分，设(2,3)B a +由题意14352a +⨯⨯=，解得23a =， 8(3B ∴，3)，设直线AB 的解析式为y kx b =+， 则有20833k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得929k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴满足条件的直线的解析式为992y x =-． 故答案为992y x =-． 三、作图题（本题满分4分）15．用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹．如图：OA 、OB 表示两条道路，在OB 上有一车站（用点P 表示）．现在要在两条道路形成的角的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且到点P 所表示的车站距离最短．请在图中作出报亭的位置．【分析】首先作出AOB ∠的角平分线OM ，再过P 作OM 的垂线，两线交于点E ，点E 就是报亭的位置． 解：如图所示：，点E 即为报亭位置．四、解答题（本题共有9道小题，满分74分） 16．计算（1）化简：2211()x y x y xy--÷（2）解不等式组：3(1)5151733x xx x +<⎧⎪⎨--⎪⎩【分析】（1）根据分式的减法和除法可以解答本题； （2）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题． 解：（1）2211()x y x y xy--÷()()y x xyxy x y x y -=+-1x y=-+； （2）()315151733x x x x ⎧+<⎪⎨--⎪⎩①②， 由不等式①，得 32x >， 由不等式②，得4 x，∴原不等式组的解集是342x<．17．新交通法规实施以来，为了解某社区居民遵守交通法规情况，小明随机选取部分居民就“行人闯红灯现象”进行问卷调查，调查分为“A：从不闯红灯；B：偶尔闯红灯；C：经常闯红灯；D：其他”四种情况，并根据调查结果绘制出部分条形统计图（如图1)和部分扇形统计图（如图2)．请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查共选取80名居民；（2）求出扇形统计图中“C”所对扇形的圆心角是度，并将条形统计图补充完整；（3）如果该社区共有居民2600人，估计有多少人从不闯红灯？（请计算说明）【分析】（1）根据为A的人数与所占的百分比列式计算即可求出被调查的居民人数；（2）求出为C的人数，得到所占的百分比，然后乘以360︒，从而求出扇形统计图中“C”所对扇形的圆心角的度数，然后补全条形统计图即可；（3）用全区总人数乘以从不闯红灯的人数所占的百分比，进行计算即可得解．解：（1）本次调查的居民人数是：5670%80÷=（人)；故答案为：80；（2）经常闯红灯的人数为：80561248---=人，“C”所对扇形的圆心角的度数为：83603680⨯︒=︒，补全统计图如图如下：故答案为：36；（3）根据题意得：260070%1820⨯=（人)，答：有1820人从不闯红灯．18．小明与小亮玩游戏，如图，两组相同的纸牌，每组三张，牌面数字分别是3，4，5．他们将纸牌背面朝上，充分洗匀后，从每组纸牌中各摸出一张，称为一次游戏．当摸出的两张纸牌的牌面数字之和大于8，则小明获胜；当摸出的两张纸牌的牌面数字之和小于8，则小亮获胜．（1）请你用列表法或画树状图求出小明获胜的概率．（2）这个游戏公平吗？请说明理由．【分析】（1）根据题意直接列出树形图或列表即可得所有等可能的结果，求得两张纸牌的牌面数字之和大于8的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；（2）分别计算他们各自获胜的概率，即可知道游戏是否公平不公平．解：（1）列表得：和3453678478958910由表格可以看出，所有可能出现的结有9种，其中两张纸牌的牌面数字之和大于8的有3种，所以小明获胜的概率31 93 ==；（2）这个游戏公平公平，理由如下：P（小明获胜）13=，P（小亮获胜）3193==，1133=，∴游戏公平．19．如图，是一座人行天桥示意图，天桥离地面的高BC是10m，坡面AC的倾斜角45CAB∠=︒，在距离A点12m处有一建筑物HQ．为方便行人过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面CD的倾斜角37CDB∠=︒，若新坡面下D处需留至少4m人行道，则该建筑物HQ是否需要拆除？请通过计算说明理由．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375︒≈，3tan37)4︒≈【分析】在Rt ABC∆、Rt DBC∆中，利用锐角三角函数分别计算DB、AB，然后计算DH的长，根据DH与3的关系，得结论．解：由题意知，12AH m=，10BC m=，在Rt ABC∆中，45CAB∠=︒，10AB BC m∴==，在Rt DBC∆中，37CDB∠=︒，1040()3tan34BCDB mCDB∴=≈=∠，DH AH DA=-()AH DB AB=--4012(10)3=--263=8.6()m≈，8.64>，∴建筑物HQ不需要拆除．20．某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元．（1）求每个A 型放大镜和每个B 型放大镜各多少元？（2）该中学决定购买A 型和B 型放大镜共75个，总费用不超过2360元，则最多可以购买多少个A 型放大镜？【分析】（1）设每个A 型放大镜和每个B 型放大镜分别为x 元，y 元，列出方程组即可解决问题；（2）由题意列出不等式求出即可解决问题．解：（1）设每个A 型放大镜和每个B 型放大镜分别为x 元，y 元， 可得8544046304x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得4024x y =⎧⎨=⎩，答：每个A 型放大镜和每个B 型放大镜分别为40元，24元；（2）设购买A 型放大镜a 个，根据题意可得：4024(75)2360a a +⨯-， 解得：35a ．答：最多可以买35个A 型放大镜．21．已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，且AE CF =，点G ，H 在对角线BD 上，且BG DH =．（1）求证：BFH DEG ∆≅∆；（2）连接DF ，若DF BF =，则四边形EGFH 是什么特殊四边形？证明你的结论．【分析】（1）证FBH EDG ∠=∠，DE BF =，BH DG =，由SAS 即可得出结论； （2）连接EF 交GH 于O ，由全等三角形的性质得出FH EG =，BHF DGE ∠=∠，证出//FH EG ，得出四边形EGFH 是平行四边形，由等腰三角形的性质得出EF GH ⊥，即可得出四边形EGFH 是菱形．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是矩形， AD BC ∴=，//AD BC ，FBH EDG ∴∠=∠， AE CF =，BG DH =，DE BF ∴=，BH DG =，在BFH ∆和DEG ∆中，BF DE FBH EDG BH DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFH DEG SAS ∴∆≅∆；（2）解：若DF BF =，则四边形EGFH 是菱形；理由如下： 连接EF 交GH 于O ，如图： 由（1）得：BFH DEG ∆≅∆， FH EG ∴=，BHF DGE ∠=∠， //FH EG ∴，∴四边形EGFH 是平行四边形，OG OH ∴=， BG DH =， OB OD ∴=，DF BF =， EF GH ∴⊥，∴四边形EGFH 是菱形．22．某商场根据市民需要，销售一种防尘口罩，进货价为20元/个．经市场销售发现：售价为30元/个时，每周可售出200个，每涨价1元，就少售出5个．若供货厂家规定市场售价不得低于30元/个，且商场每周要完成不少于130个的销售任务． （1）确定周销售量y （个)与售价x （元/个）之间的函数关系式；（2）确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w （元)与售价x （元/个）之间的函数关系式；（3）当售价x （元/个）定为多少时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w （元)最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据题意可以直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）根据题意可以直接写出w 与x 之间的函数关系式，由供货厂家规定市场价不得低于30元/个，且商场每周完成不少于150个的销售任务可以确定x 的取值范围；（3）根据第（2）问中的函数解析式和x 的取值范围，根据二次函数的性质可得答案． 解：（1）由题意可得，200(30)55350y x x =--⨯=-+，∴周销售量y （个)与售价x （元/个）之间的函数关系式是：5350y x =-+；（2）商场每周要完成不少于130个的销售任务， 2005(30)130x ∴--，44x ∴，市场售价不得低于30元/个，3044x ∴；由题意可得， (20)(5350)w x x =--+254507000(3044)x x x =-+-；∴商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w （元)与售价x （元/个）之间的函数关系式是：254507000(3044)w x x x =-+-； （3）254507000(3044)w x x x =-+-的二次项系数50-<，对称轴为：450452(5)=⨯-，3044x ，∴当45x <时，w 随x 的增大而增大，44x ∴=时，w 取得最大值，25444504470003120w =-⨯+⨯-=．∴当售价x （元/个）定为44元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w （元)最大，最大利润是3120元．23．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若(0,1)x a N a a =>≠，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：记作：log a x N =．比如指数式4216=可以转化为24log 16=，对数式52log 25=可以转化为2525=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log ()log log (0a a a M N M N a =+>，1a ≠，0M >，0)N >；理由如下：log a M m =，log a N n =，则m M a =，n N a =m n m n M N a a a +∴==，由对数的定义得log ()a m n M N +=又log log a a m n M N +=+ log ()log log a a a M N M N ∴=+解决以下问题：（1）将指数式35125=转化为对数式 53log 125= ；（2）2log 4= ，3log 81= ，4log 64 ．（直接写出结果） （3）证明：证明log a log log (0a a MM N a N=->，1a ≠，0M >，0)N >．（写出证明过程）（4）拓展运用：计算计算333log 4log 12log 16+-= ．（直接写出结果） 【分析】（1）根据题意可以把指数式35125=写成对数式； （2）运用对数的定义进行解答便可；（3）先设log a M m =，log a N n =，根据对数的定义可表示为指数式为：m M a =，n N a =，计算MN的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：log ()log log a a a M N M N =+和log a log log a a MM N N=-的逆用，将所求式子表示为：3log (41216)⨯÷，计算可得结论．解：（1）一般地，若(0,1)x a N a a =>≠，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：记作：log a x N =． 53log 125∴=，故答案为：53log 125=；（2）224=，4381=，3464=， 2log 42∴=，3log 814=，4log 643=，故答案为：2；4；3=；（3）设log a M m =，log a N n =，则m M a =，n N a =，∴m m n n M a a N a-==， ∴由对数的定义得log am n -=M N， 又log log a a m n M N -=-， log a∴log log a a MM N N=-；（4）33333log 4log 12log 16log (41216)log 31+-=⨯÷==． 故答案为：1．24．已知：如图，在等边ABC ∆中，6AB cm =，AD BC ⊥于点D ，动点F 从点C 出发，沿CB 方向以1/cm s 的速度向点D 运动；同时，动点P 也从点C 出发，沿CA 方向以3/cm s 的速度向点A 运动，过点P 作//PE BC ，与边AB 交于点E ，与AD 交于点G ，连结ED ，PF ．设运动的时间为()(02)t s t <<．（1）当t 为何值时，四边形EDFP 为平行四边形？（2）设四边形EDFP 面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式； （3）连结PD 、EF ，当t 为何值时，PD EF ⊥？【分析】（1）根据四边形EDFP 为平行四边形，得出PE DF =，列式可得结论； （2）根据面积差可得y 与t 之间的函数关系式；（3）证明PDG OFC ∠=∠，利用等角的三角函数列式tan tan EH PGPDG OFD FH DG∠=∠==，得一元二次方程，解出可得结论．解：（1）等边ABC ∆中，6AB cm =，AD BC ⊥， 6AC AB BC ∴===，132DC BD BC ===，60B C ∠=∠=︒， //PE BC ，60APE AEP B C ∴∠=∠=∠=∠=︒，APE ∴∆是等边三角形， AP PE ∴=，由题意得：3CP t =，CF t =，则63AP t =-， 63PE t ∴=-，3DF DC CF t =-=-，四边形EDFP 为平行四边形， PE DF ∴=， 633t t ∴-=-，32t ∴=， ∴当32t s =时，四边形EDFP 为平行四边形； （2）过点P 作PH BC ⊥于H ，如图1所示：由勾股定理得：AD ===， 60C ∠=︒，sin 603PH PHCP t∴︒==，3PH t ∴==， //PE BC ，AD BC ⊥，PH BC ⊥， ∴四边形PGDH 是矩形，PH DG ∴=，ABC APE PCF EDB y S S S S ∆∆∆∆∴=---1111()2222AD BC AD PH PE PH CF PH BD =----11116)(63)32222t t =⨯-⨯-⨯--⨯-⨯2273334t t =-+； （3）设PD 交EF 于点O ，过点E 作EH BC ⊥于H ，如图2所示： 则四边形EHDG 是矩形， EH DG ∴=，APE ∆是等边三角形， 11(63)22PG EG PE t ∴===-， 同（2）得：332EH t =，32BH t =，PD EF ⊥， 90FOD ∴∠=︒，90OFD ODF ∴∠+∠=︒， 90ODF PDG ∠+∠=︒， PDG OFD ∴∠=∠，tan tan EH PG PDG OFD FH DG∴∠=∠==， ∴331(63)22333622t t t t t -=--， 2211120t t ∴+-=，解得：1112174t -+=，2112174t --=（不合题意舍去）， 则当112174t s -+=时，PD EF ⊥．。