n
n
记 QQ(0,1) i2 yi 01xi2
i1
i1
最 小 二 乘 法 就 是 选 择 0和 1 的 估 计 ˆ0， ˆ1 使 得
Q(ˆ0,ˆ1)m 0,1Q in (0,1)
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6
ˆ
0
y
ˆ1 x
ˆ
1
xy x y x2 x2
n x i x y i y
或 ˆ 1 i 1 n
2

n
其Lx中 x (xix)2 xi2nx2
i 1
i 1
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（Ⅲ）r检验法
n
( x i x ) y i ( y )
记 r i 1
n
n
( x i x ) 2( y i y ) 2
i 1
i 1
当 | r | > r 1 - α 时 ， 拒 绝 H 0 ； 否 则 就 接 受 H 0 .
系 ， 所 求 的 线 性 回 归 方 程 有 意 义 ； 否 则 回 归 不 显 著 ， y 与 x 的 关 系 不 能 用 一 元 线 性 回 归 模 型 来 描 述 ， 所 得 的 回 归 方 程 也 无 意 义 .
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（Ⅰ）F检验法 当 H 0成 立 时 ，FQ e/U n (2)~F（ 1， n-2）
和 ˆ 1 t( n 2 )ˆ e /L x,x ˆ 1 t( n 2 )ˆ e /L x x
1 2
1 2
2 的 置 信 水 平 为 1 - 的 置 信 区 间 为
1 2 2 Q ( n e 2 ) , 2 2 ( Q n e 2 )
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x i x 2
n i 1 n i 1
n n i 1 i 1 i 1
其 中 x 1 x i , y 1 y i ， x 2 1 x i 2 , x 1 y x i y i .
n
n
n
n
（ 经 验 ） 回 归 方 程 为 : y ˆ ˆ 0 ˆ 1 x y ˆ 1 ( x x )
以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xI，yi） 在平面直角坐标系上标出.
解答
102
100 98
y01x
96
94
92
90
88
86
84
140
145
150
155
160
165
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散点图
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一 般 地 ， 称 由 y01x确 定 的 模 型 为 一 元 线 性 回 归 模 型 ，
记 为
数学建模与数学实验
回归分析
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后勤工程学院数学教研室
1
实验目的
1、直观了解回归分析基本内容。 2、掌握用数学软件求解回归分析问题。
实验内容
1、回归分析的基本理论。 2、用数学软件求解回归分析问题。 3、实验作业。
回归分析
一元线性回归
多元线性回归
* *
* *
数 学 模 型 及 定 义
模 型 参 数 估 计
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检 验 、 预 测 与 控 制
性可 回线 归性 （化 曲的 线一 回元 归非 ）线
数 学 模 型 及 定 义
模 型 参 数 估 计
检 验 与 预 测
多 元 线 性 回
归
中
的
逐 步 回 归 分 析
3
一、数学模型
例1 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：
身 高 1 4 31 4 51 4 61 4 71 4 91 5 01 5 31 5 41 5 51 5 61 5 71 5 81 5 91 6 01 6 21 6 4 腿 长 8 8 8 5 8 8 9 1 9 2 9 3 9 3 9 5 9 6 9 8 9 7 9 6 9 8 9 91 0 01 0 2
y01x E 0 ,D 2 固 定 的 未 知 参 数 0、 1称 为 回 归 系 数 ， 自 变 量 x也 称 为 回 归 变 量 .
Y 0 1 x ， 称 为 y 对 x 的 回 归 直 线 方 程 .
一元线性回归分析的主要任务是：
1 、 用 试 验 值 （ 样 本 值 ） 对 0 、 1 和 作 点 估 计 ； 2 、 对 回 归 系 数 0、 1作 假 设 检 验 ；
3 、 在 x x = 0处 对 y 作 预 测 ， 对 y 作 区 间 估 计 .
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返回 5
二、模型参数估计
1、回归系数的最小二乘估计
有 n组 独 立 观 测 值 ， （ x1， y1） ， （ x2， y2） ， … ， （ xn， yn）
设 E yi i 0 0, D xi12 i,i且 11,22,， ....n ..n,相 , 互独立
n
其 中 U y ˆiy2（ 回 归 平 方 和 ） i 1
故 F>F 1(1,n2)， 拒 绝 H 0 ， 否 则 就 接 受 H 0 .
（Ⅱ）t检验法
当 H 0 成 立 时 ， T L ˆ x e ˆ 1 x ~ t （ n - 2 ）
故 T t 1 ( n 2 ) ， 拒 绝 H 0， 否 则 就 接 H 受 0.
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三、检验、预测与控制
1、回归方程的显著性检验
对 回 归 方 程 Y 01 x的 显 著 性 检 验 ， 归 结 为 对 假 设 H 0:1 0 ;H 1:1 0
进 行 检 验 .
假 设 H 0 : 1 0 被 拒 绝 ， 则 回 归 显 著 ， 认 为 y 与 x 存 在 线 性 关
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2 2
n
记 Qe Q(ˆ0 , ˆ1)
yi ˆ0 ˆ1xi
2
n
(yi yˆi )2
i1
i1
称 Qe 为残差平方和或剩余平方和.
2 的无偏估计为
ˆ
2 e
Qe
(n 2)
称ˆ
2 e
为剩余方差（残差的方差）， ˆ
2 e
分别与ˆ0 、ˆ1
独立 。
ˆe 称为剩余标准差.
其 中 r 1 1 n 2 F 1 1 1 , n 2
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2、回归系数的置信区间
0 和 1 置 信 水 平 为 1 - α 的 置 信 区 间 分 别 为
ˆ 0 t1 2 ( n 2 )ˆ e1 n L x x 2 ,x ˆ 0 t1 2 ( n 2 )ˆ e1 n L x x 2 x
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3、预测与控制 （1）预测
用 y 0 的 回 归 值 y ˆ 0 ˆ 0 ˆ 1 x 0 作 为 y 0 的 预 测 值 .