第九章 投资组合理论
2018/11/23
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内容简介： 一、风险资产组合 1、2种风险资产的组合 2、N种风险资产的组合（可行集） 3、最优风险资产组合的确定（有效边界） 二、加入无风险资产后 1、资本配置线 2、最优风险资产组合的确定 3、最优资产组合的确定 三、资本资产定价模型（CAPM） 1、资本市场线 2、模型的推导 3、解释和应用 四、套利定价模型 2018/11/23 广东金融学院 投资学精品课程
当ρ =-1时,标准差可以降低到0的资产恰当比例 如下： 由于需要有： wDD-wEE=0， 所以有： wD = E /(D+E) wE = D /(D+E)=1- wD 以上的三种情形的分析表明， 当ρ =1时，标准差最大，为每一种风险资产标准 差的加权平均值； 如果 -1ρ ＜ 1 ，组合的标准差会减小，风险会降 低； 如果ρ =-1，在股票的比重为wD = E /(D+E)， 债券的比重为1- wD 时，组合的标准差为0 ，即 完全无风险。
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显然如果两资产协方差为负，方差将变小。 由于有 Cov(rD，rE)=ρ DEDE 将它代入上面的方差公式，则有： P2=wD2D2+wE2E2+2wDwEDEρ DE A.ρ =1时，可简化为：P2=(wDD+wEE)2 或 P=wDD+wEE 组合的标准差恰好等于组合中每一部分证券标准差 的加权平均值。 B.当ρ ＜1时，组合标准差会小于各部分证券标准差的 加权平均值。 C.当ρ =-1时，该式可简化为：P2=(wDD―wEE)2 组合的标准差为： P=|wDD―wEE|。 此时如果两种资产的比例恰当，标准差可以降低到0 ， 2018/11/23 广东金融学院 投资学精品课程


资本配置线的斜率也称为酬报与波动性比率。一般认 为这个值较大为好，因为它越大，资本配置线就越陡 ，即增加一单位风险可以增加更多的期望收益。
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（二）最优风险组合的确定

在风险组合里增加无风险资产，那么，每种风险组合 和无风险资产可以形成资本配置线。上面已经提到， 资本配置线的斜率大比较好，因此，当资本配置线与 有效边界相切的时候最优，切点就是最优风险组合。 E(r) 最优风险资产组合P
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风险资产与无风险资产的比率为：y*=[E(rp)-rf]/ 0.01Aσ
假定A=4，投资者投资于风险资产组合的投资比例为 y=[E(rp)-rf]/0.01Aσ 2p = (15.33-6.5)/(0.01×4×3.39)=65.12
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追加2：最优资产组合的确定

投资于风险组合的比例是y，无风险资产为（1-y)。 U=E(r)-0.005σ 2 最大化效用，即关于效用函数对y求导等于0。 所以，y*=[E(rp)-rf]/ 0.01Aσ2p，
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马柯维茨的资产组合理论

马 柯 维 兹 (Harry Markowitz)1952 年 在 Journal of Finance发表了论文《资产组合的选择》，标志着现代 投资理论发展的开端。 马想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股票 ，他终于明白，投资者不仅要考虑收益，还担心风险 ，分散投资是为了分散风险。同时考虑投资的收益和 风险，马是第一人。当时主流意见是集中投资。 马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进行 资产组合投资的理论和方法，第一次采用定量的方法 证明了分散投资的优点。他用数学中的均值方差，使 人们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能 提供最大收益的资产组合。获 1990 年诺贝尔经济学奖 。 2018/11/23 广东金融学院 投资学精品课程
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（三）没有引入无风险资产的情形下 最优风险资产的确定

一句话，没有无风险资产的情形下，最优风险 资产组合是有效边界与效用无差别曲线群的切 点。
E(r) 无差别曲线 有效边界 最优风险资产组合
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σ
二、引入无风险资产后
பைடு நூலகம்
一 、风险资产组合 （一）2种风险资产的资产组合
假定投资两种风险资产，一是股票D，一是债券E。 投资者会根据期望收益与方差的情况，考虑自己的 风险厌恶程度决定两种资产组合的比例。假定投资 债券的资金为wD，投资股票的部分为1-wD记作wE， rD为债券收益，rE为股票收益，组合收益rp为 rp= wDrD+wErE E(rp)=wDE(rD)+wEE(rE) p2=w2DD2+w2EE2+2wDwECov(rD,rE)
托宾的收益风险理论
托宾 (James Tobin) 是著名的经济学家、他在 1958 年 2 月 The Review of Economic Studies 发表文章，阐述 了他对风险收益关系的理解。 1955-56年，托宾发现马克维茨假定投资者在构筑资产 组合时是在风险资产的范围内选择，没有考虑无风险 资产和现金，实际上投资者会在持有风险资产的同时 持有国库券等低风险资产和现金的。 他得出：各种风险资产在风险资产组合中的比例与风 险资产组合占全部投资的比例无关。这就是说，投资 者的投资决策包括两个决策，资产配置和股票选择。 而后者应依据马克维茨的模型。即无论风险偏好何样 的投资者的风险资产组合都应是一样的。托宾的理论 不仅使凯恩斯理论有了更坚实的基础，也使证券投资 的决策分析方法更深入，也更有效率。 2018/11/23 广东金融学院 投资学精品课程

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（三）最优资产配置



上面确定了最优风险资产的组合，即，投资于 各种风险资产的适当的比例。那么，投资于风 险资产组合和无风险资产的比例又应该如何确 定呢？ 最优风险资产组合和无风险资产形成了一条资 本配置线，它与个人的效用无差别曲线群的切 点，就是最优的资产配置。 个人的风险喜好不同，意味着无差别曲线群不 同，切点亦不同，即，个人最优资产配置不同 。
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证券D、E组合在R-平面的映射（组合线）的 形状取决于二证券收益率的相关程度。如下图 ：
R E
=-1 =-0.5 =0
=0.5
=1
D O
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（二）N种风险资产的组合
一般地，对于3个风险资产A,B,C，可行集合是 ABC，比方说，其可能的组合Q可以看做B,C的 组合Z，与A的再组合。如图所示：

股票 E(rE) 为 20% ，方差为 15% ，债券 E(rD) 为 10% ，方差为 10% 。股 票与债券的ρ =-0.5。无风险资产收益为6.5%。
例题


由于有：Cov(rD，rZ)=ρ DEDE 有Cov(rD，rZ)=-0.5(3.162)(3.873)=-6.123 把上例中的数据代入，得到的解为 wD={[10-6.5]15-[20-6.5](-6.123)}/[10-6.5]15+[20-6.5]10[10-6.5+20-6.5](-6.123)}= 46.7% wE =1-0.46.7=53.3% 这一最优风险资产组合的期望收益与标准差分别为 E(rP)=(0.467×10)+(0.533×20)=15.33% 2min=(0.4672×10)+(0.5332×15)+(20.4670.533-6.123) =3.39% 这个最优资产组合的资本配置线的斜率为 SP=[E(rB)-rf]/B=(15.33-6.5)/18.4=0.48
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追加1：最优风险资产组合的确定（2种）
目的是找出wD，wE值，以获得斜率最大的资本配置线。因此，目标函 数就是斜率，即SP， 有：Sp=[E(rp)-rf]/σ p 只要满足权重和=1，就可以求斜率的最大值，有 Max Sp=[E(rp)-rf]/σ p 因为∑wI=1，将[E(rp)= wDE(rp)+ wEE(rE)]代入，有 Max Sp=[ wDE(rp)+ wEE(rE)-rf]/σ p 将P2= wD2D2+ wE2E2+2 wDwEDEρ E代入上式，有 MaxSp=[wDE(rp)+wEE(rE)-rf]/[wD2D2+wE2E2+2wDwEDEρ E] 用1-wD代替wE ，有：MaxSp= [wDE(rp)+(1-wD)E(rE)-rf]/wD2D2+(1-wD)2E2+2wD(1-wD)DEρ E 用wD 对Sp 求导，令导数为零，有 wD={[E(rD)-rf]E2-[E(rE)-rf]Cov(rD,rE)}/[E(rD)-rf]E2+[E(rE)rf]D2-[E(rD)-rf+E(rE)-rf]Cov(rD,rE)} wE=1-wD
E(r) Q
B Z
C
A
σ
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N个资产同样可以组合。如图（不考虑卖空） 性质：可行集合必然是向外凸的。 (用反证法证明！）
E(r)
σ
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可行集合：上面所说的是可行集合，即通过改变 风险资产的投资比例，所有可能实现的风险资 产的组合。 有效边界：对于给定期望收益，拥有最小方差的 风险资产的组合。或者说，对于给定方差，拥 有最大期望收益的风险资产的组合。 结论：有效边界是可行集合的左上边缘。 思考：为什么？ （根据均值-方差准则而来）