第二讲 立方根、开立方、n 次方根【典型例题1】（1）以下说法中正确的有（ ）. A ．16的平方根是4± B ．64的立方根是4± C ．27-的立方根是3- D ．81的平方根是9 【解】 C（2）下列说法正确的是（ ）A 一个数的立方根有两个，且他们互为相反数B 任何一在个数必有立方根与平方根C 一个数的立方根必与这个数同号D 负数没有立方根 【解】 C 【知识点】1、立方根概念：如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3a ”表示，读作“三次根号a ”， 3a 中的 a 叫做被开方数，“3”叫做根指数。

2、立方根的性质：正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零。

（任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根）【基本习题限时训练】下列说法是否正确？如果不正确，请说明理由。

（1） 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。

（2） 只有零的立方根是它本身。

（3） 只有零的平方根是它本身。

（4） 1的平方根与立方根相同。

【解】（1） √ （2）× （3） √ （4）× 【拓展题1】 1、已知：x =ba m +是m 的立方根，而y=36-b 是x 的相反数，且m=3a-7。

求a 、b 、m 的值.【解】由题意,可得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=+7363a m m b b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==825m b a2、立方根有如下性质：3ab =3a ∙3b ，3b a =33ba计算：（1）36.2101.0⨯的值 （2）设32=m ,33=n ,用含m 、n 的代数式表示348、38116【解】（1）36.2101.0⨯=3216001.0⨯=3001.0∙3216=0.1×6=0.6（2）348=386⨯=36×38=332⨯×2=2mn38116=381163=3332728⨯⨯=333332728⨯⨯=n m 32 —————————————————————————————【典型例题2】求下列各数的立方根：(1)1000 (2)278- (3)001.0- (4)0 【解】（1）10 （2）-32（3）-0.1 （4）0【知识点】求一个数a 的立方根的运算叫开立方 【基本习题限时训练】(1)下列各式中值为正数的是( )(A)()355.2- (B)-()324.3- (C)30 (D)37-【解】D(2)下列说法中正确的是（ ） (A)278的立方根是32± （B ）-125没有立方根 (C)0的立方根是0 （D ）()4832=-- 【解】C（3）下列说法正确的是（ ） （A ）一个数的立方根一定比这数小 （B ）一个正数的立方根有两个 （C ）每一个数都有算术平方根（D ）一个负数的立方根只有一个，且仍为负数 【解】D（4）如果-b 是a 的立方根，那么下列结论正确的是（ ） （A ）-b=3a (B)()ab =-3 (C)3a b = (D)a b =3【拓展题2】1、 求最小正整数n ,使332n 为整数【解】n =22、 小明有一个正方体模型1，小杰也做了一个正方体模型2，他的模型边长是小明的正方体边长的2倍。

小杰对小明说：“我的模型体积比你的模型大1倍。

”小明不同意这个观点，你认为呢？说说理由。

如果不是，小杰应做的模型的边长是小明的模型的边长的几倍，才能达到体积大1倍？ 【解】小杰的说法是错的。

小杰应做模型边长是小明的2倍时，才达到体积大1倍。

设小明的模型边长为a ，小杰的模型边长为2a V 1=3a ，V 2=()32a =38a ， 所以V 2=8 V 1设当小杰做的模型边长为x 时，体积比小明的模型大1倍， 即V=23a ，3x =23a ，则边长x =a 2【典型例题3】求下列各式的值 （1）364- （2）()338 （3）364324+-- 【解】（1）-4 （2）8 （3）413 【知识点】类似于平方与开平方之间的关系，根据立方的意义，可以得到：a a =33)(，a a =33【基本习题限时训练】 （1）算式372964+3271-的计算结果是（ ） （A ） 91-（B ）91 （C ） 54 （D ）54- 【解】（B ）（2）若033=+y x ，则x 与y 的关系（ ）（A ）x=y=0 (B)x 与y 相等 （C ）x 与y 互为相反数 （D ）yx 1= 【解】C（3）若a ＜0，化简233a a +的结果是（ ）（A ）0 （B ）2 （C ）-2a (4)±2a【解】A【典型例题4】1、下列方根中，哪些有意义？哪些没有意义？如果有意义，请用符号表示这些方根，并求出结果。

（1）1的五次方根 （2）-1的五次方根 （3）16的四次方根 （4）-16的四次方根 （5）64的六次方根 （6）-32的五次方根【解】（1）1的五次方根有意义，用符号表示为51，且51=1 （2）-1的五次方根有意义，用符号表示为51-，且51-=-1 （3）16的四次方根有意义，用符号表示为 416，且 416=2 （4） -16的四次方根没有意义（5）64的六次方根有意义，用符号表示为464，且464=2 （6）-32的五次方根有意义，用符号表示为532-，且532-=-2 2、下列说法中正确的是( ) (1) 只有正数才有偶次方根(2) -2的六次方是64,所以64的六次方根是-2 (3) 若a x n=(a ≥0，n 是偶数），则n a x ±= （5） 因为-a 是负数，所以它没有偶次方根 【解】（B ） 【知识点】1、如果一个数的n 次方等于a （n 是大于1的整数），那么这个数叫做a 的n 次方根。

2、当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根，实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示，其中被开方数a 是任意一个实数，根指数n 是大于1的奇数；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根，实数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示，负n 次方根用“－n a ”表示。

其中被开方数a ＞0，根指数n 是正偶数（当n =2时，在省略写n ）。

【基本习题限时训练】判断题（1）49=±7 （ ） （2）144=－12 （ ） （3）－4是－64的立方根 （ ） （4）－4是－64的平方根 （ ） （5）a 2的正的平方根是 a （ ） （6）－a 3的立方根是－a （ ）（7）1的任何次方根都是1 （ ） （8）0的任何次方根都是0 （ ） （9）负数没有方根 （ ） （10）正数的方根互为相反数 （ ） 【解】（1）× （2）× （3）√ （4）× （5）× （6）√ （7）× （8）√ （9）× （10）× 【拓展题4】1、 比较下列各数的大小，并用不等号＜连结5、327、532-、421-【解】532-＜421-＜5＜3272、 简答：（1） 如果n 是大于1的正整数，那么5能不能开n 次方根？如果能，请用式子表示5的n 次方根；如果不能，请简要说明理由。

（2） 如果n 是大于1的正整数，那么-5能不能开n 次方根？如果能，请用式子表示-5的n 次方根；如果不能，请简要说明理由。

【解】（1）5能开n 次方。

当n 为奇数时，n 5表示5的n 次方根；当n 是偶数时，n 5±表示5的n 次方根（3） 当n 为奇数时，-5能开n 次方，即n 5-；当n 是偶数时，-5不能开n 次方，因为负数没有偶次方根。

【典型例题５】求适合下列各式的x 的值 （1）9310-=x （2）8410=x 【解】（1）001.0=x （2）±=x 100 【知识点】求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数 【基本习题限时训练】1、下列说法中，正确的是 （ ）（A ）3是3的正的平方根 （B ）3是23的正的平方根 （C ）3是23-的正的平方根 （D ）-3是()23-的正的平方根【解】B2、如果a 是有理数，那么a 应是（ ）(A)完全平方数 （B ）不完全平方数 （C ）非负数 （D ）正实数 【解】A3、如果-b 是a 的立方根，那么下列结论正确的是（ ） （Ａ）-b 是－a 的立方根 （Ｂ）b 是a 的立方根（Ｃ）b 是－a 的立方根 （Ｄ）以上都不对 【解】Ｃ４、若ｘ－１的９次幂等于３，则ｘ可记作（ ）（Ａ）139+ （Ｂ）139+ （Ｃ）193+ （Ｄ）193+ 【解】B【拓展题５】１、已知ｎ是自然书，a 是实数且()nnnna a =成立。

试讨论ｎ及a 的取值范围。

【解】当ｎ为奇数时，a 取一切实数，()nnnn a a =；当ｎ为偶数时，a ≥０时，()nnnn a a =２、先填写下表，再回答问题：问：（１）数ｘ与立方根3x 的小数点的位置移动有无规律？如有，请写出规律。

（２）已知61.1220053=，01261.03=a ，不用计算器，请根据规律求得a ＝＿＿＿＿ 【解】（１）数ｘ的小数点每向右或左移动３位，相应的立方根的小数点向右或左移动１位 （２）ａ＝０．０００００２００５。