二、函数的极值定义
y
使函数取得极值的 y 点x0称为极值点
o
x0
x
o
x0
x
设函数f(x)在点x0附近有定义，
•如果对X0附近的所有点，都有f(x)<f(x0),
则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；
•如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；
◆函数的极大值与极小值统称 为极值.
2、求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：
求定义域 求导 求极值点 列表 左正右负极大值，左负右正极小值 写极值
导数的应用之三、求函数最值.
极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数 值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意 味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
1.3.3函数的最大 （小）值与导数
高二数学 选修2-2
复习:一、函数单调性与导数关系 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，
f(x)为增函数
f(x)为减函数
y
y=f(x)
y
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有 f (x) 0 ,则 f (x)为常数.
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个为最小值.
例1、求函数f(x)=x3 /3-4x+4在区间[0，3] 内的最
大值和最小值 解：因为f (x) 1 x2 4x 4, 所以 3 f ' (x) x2 4, 令f ' (x) 0, 解得：x 2或x 2
f(x)最大值为f（-2）=f（4）=28/3
f(x)最小值为f(2)=-4/3
2、求函数f(x)=3x-x3 在区间 [-3，3] 内的最大值和最小值
f(x)最大值为f（1）=2 f(x)最小值为f（-3）=-36
※典型例题
例题2：已知函数f (x) 2x3 6x2 a在2，2上有最小值 37 1求实数a的值； 2求f (x)在2，2上的最大值。
(D)若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值.
2.函数 y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是 M，最小值是
A m,若 M=m,则 f ( x) ( )
(A)等于 0 (B)大于 0 (C)小于 0 (D)以上都有可能
A 3.函数 y= 1 x4 1 x3 1 x2 ,在［－1,1］上的最小值为( ) 432
课后作业 习题1.3A组 6题 (2) (3)
课后思考 （浙江某年高考文）
已知a为实数，f (x) (x2 4)( x a)
（Ⅰ）求导数 f (x) ； f '(x) 3x2 2ax 4
（Ⅱ）若 f (1) 0 ，求 f (x) 在[-2，2]上的 最大值和最小值；
在某些问题中，往往关心的是函数在整 个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这
就是我们通常所说的最值问题.
探究如何求出函数在[a,b]上的最值？
y
y fx
ao
bx
图1.
在图中, 观察 a, b上的函数 y f x的图象,它们在a,b上有最大值、最
小值吗? 最大值与最小值在何处取得？
a1 2
fmax

f
(1)
9, 2
fmin

f
(4) 3

50 27
解:(1）f (x) 6x2 12x 令f (x) 0解得x 0或x 2 又f (2） 40 a, f (0) a, f (2) 8 a 由已知得 40 a 37解得a 3
(2)由(1)知f (x)在2, 2的最大值为3.
反思：本题是由函数的最值求参数的值： 基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小
由图表知：
x （0,2） 2 （2,3）
f'(x)
-
0
+
f(x)
-4/3
所以函数在[0,3]上没有极大值，极小值为f (2) 4 3
又f (0) 4, f (3) 1
因此，函数 f (x)在[0,3]上最大值是 4，最小值为 4 . 3
练习 1、变式将区间 [0，3] 改为[-3,4] 求函数的最大值和最小值
(2) f (x) x3 27x
fmax f (3) 54
fmin f (3) 54
习题答案
2
fmin

f
( 1) 3

55 27
(4) f (x) 3x x3
fmax f (2) 2 fmin f (3) 18
3) 函数的最值可在端点取得.
高考链接
f(x)（ A）
设函数 f(x) = 2x + 1 -1(x < 0), 则 x
A．有最大值 C．是增函数
B．有最小值 D．是减函数
补充练习:
D 1．下列说法正确的是( )
(A)函数的极大值就是函数的最大值
(B)函数的极小值就是函数的最小值 (C)函数的最值一定是极值
上，从而解决问题.
课堂小结
一.函数极值与最值区别与联系 二.利用导数求函数最值的方法
总结
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极 小值); ②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,
其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 注意 1) 函数的最值是整体性的概念； 2) 函数的最大值（最小值）唯一；
•y
观察右边一个定义 在区间[a,b]上的函数 y=f(x)的图象：
a x1 o X2
y=f(x)
X3
bx
发现图中f(x1)f(x3) 是极小值，f(x2)是极大值，在区 间上的函数的最大值是 f(b) ，最小值是 f(x3) 。
1. “最值”与“极值”有怎样的区别和联系呢？
2.怎样得到函数最值？
2.怎样得到函数最值？ y
最大值
y=f(x)
a x1 o X2
X3
bx
最小值
《1、函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值点在 导数为零的点和区间的两个端点处取得.
《2、只要把函数f(x)在闭区间[a,b]上的所有极值点连同端点的 函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值。
导数的应用之三、求函数最值.
❖ “最值”与“极值”的有怎样的区别和联系呢？
❖ ①、“最值”是整体概念；而“极值”是个局部概 念．
❖ ②、从个数上看，一个函数在给定的闭区间【a，b】 上的最值是唯一的；而极值可能有多个，也可能只 有一个，还可能一个都没有；
❖ ③、在极值点x0处的导数f′（x0）=0，而最值点不一 定，最值有可能在极值点取得，也可能在端点处取 得。
(A)0
(B)－2 (C)－1
(D) 13
C 12
4、函数y=x3-3x2，在［－2，4］上的最大值为（ )
(A) -4 (B) 0 (C) 16 (D) 20
习题答案
练习（第31页）
1.
(1) f (x) 6x2 x 2
fmax f (2) 20
fmin

f
(1) 12

49 24