课后训练
千里之行 始于足下
1．下列函数为单调增函数的序号是________．
①2()f x x = （x >0）；②()f x x =-；③1()f x x x
=-+；④()1f x x =+. 2．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调减区间是________，最小值是________．
3．下列命题正确的序号是________．
①定义在（a ，b ）上的函数f （x ），若存在x 1，x 2∈（a ，b ），使得x 1<x 2时，有f （x 1）<f （x 2），则f （x ）在（a ，b ）上递增．
②定义在（a ，b ）上的函数f （x ），若有无穷多对x 1，x 2∈（a ，b ），使得x 1<x 2时，有f （x 1）<f （x 2），则f （x ）在（a ，b ）上递增．
③若f （x ）在区间I 1上是单调增函数，在区间I 2上也是单调增函数，则f （x ）在I 1∪I 2上也一定是单调增函数．
④若f （x ）在区间I 上单调递增，g （x ）在区间I 上单调递减，则f （x ）－g （x ）在区间I 上单调递增．
4．已知函数y ＝f （x ）与函数y ＝g （x ）的图象如图：
则函数y ＝f （x ）的单调增区间是________；函数y ＝g （x ）的单调减区间是________．
5．小军遇到这样一道题目：写出满足在（－∞，0）上递减，在[0，＋∞）上递增，且有最小值为2的两个函数．请你帮小军写出满足条件的两个函数表达式：________________________________.
6．有下列四个命题：
①函数y ＝2x 2＋x ＋1在（0，＋∞）上不是单调增函数；②函数11y x =
+在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是单调减函数；③函数21y x =-∞，＋∞）；④已知f （x ）在R 上为单调增函数，若a ＋b >0，则有f （a ）＋f （b ）>f （－a ）＋f （－b ）．
其中正确命题的序号是________．
7．已知函数f （x ）＝x 2＋2（1－2a ）x ＋6在（－∞，－1）上是单调减函数．
（1）求f （2）的取值范围；
（2）比较f （2a －1）与f （0）的大小．
8．已知函数f （x ）＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．
（1）当a ＝－1时，求函数f （x ）的最大值与最小值；
（2）求实数a 的取值范围，使y ＝f （x ）在区间[－5,5]上是单调函数．
百尺竿头 更进一步
已知函数21
y x =-，问此函数在区间[2,6]上是否存在最大值和最小值？若存在，请求之，若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
千里之行
1．④ 解析：2()f x x
=
在（0，＋∞）上是单调减函数()f x =[0，＋∞）上是
单调减函数，1()f x x x =-+.在（0，＋∞）上也是单调减函数， ()1f x =+[0，＋∞）上为单调增函数．
2．3(,)2-∞ 14-
解析：函数的对称轴为32，且开口向上，所以单调减区间为3(,)2-∞．2231132()244y x x x =-+=--≥-，∴当32x =时，14
y =-.所以函数的最小值为min 14y =-. 3．④ 解析：由单调增函数的定义，知x 1，x 2必须是区间（a ，b ）上的任意两个值且x 1<x 2，所以“存在”，“有无穷多对”都不对，因此①②错；③反例1()f x x
=-在（－∞，0）上是单调增函数，在（0，＋∞）上也是单调增函数，但不能说在（－∞，0）∪（0，＋∞）上是单调增函数，故③错；
对④设x 1，x 2∈I, 且x 1<x 2，则f （x 1）<f （x 2），g （x 1）>g （x 2），∴－g （x 2）>－g （x 1），∴f （x 2）－g （x 2）>f （x 1）－g （x 1），故f （x ）－g （x ）在I 上单调递增，∴④正确．
4．（－∞，－2]，[0，＋∞） （－∞，0]，（0，＋∞）
5．y ＝x 2＋2或y ＝|x |＋2 解析：这是一个开放性题，答案不惟一，可以是y ＝ax 2＋2，y ＝a |x |＋2（a >0）．
6．④ 解析：①因为函数在1(,)4-+∞上为单调增函数，所以在（0，＋∞）上也是单调增函数，故①错．②函数11
y x =+在区间（－∞，－1）和（－1，＋∞）上各自是单调减
函数，但不能说函数在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上为单调减函数，因为当取x 1＝－2，x 2＝0时，x 1<x 2，但11()121f x ==--+，21()101
f x ==+，f （x 1）<f （x 2），显然不满足
单调减函数定义，所以要把这两个区间分开写，不能取并集写成一个区间．③∵函数
y =1[,)2
+∞, 故③错．④∵f （x ）在R 上为单调增函数，又a ＋b >0，∴有a >－b ，或b >－a ，则有f （a ）>f （－b ），或f （b ）>f （－a ）．两式相加得f （a ）＋f （b ）>f （－a ）＋f （－b ），故④正确．
7．解：（1）∵二次函数f （x ）＝x 2＋2（1－2a ）x ＋6的图象的对称轴为x ＝2a －1，且开口向上，∴此函数在区间（－∞，2a －1]上是单调减函数．若使f （x ）在（－∞，－1）上为单调减函数，其对称轴x ＝2a －1必须在x ＝－1的右侧或与其重合，即－1≤2a －1，∴a ≥0.∴f （2）＝22＋2（1－2a ）×2＋6＝－8a ＋14≤14，即f （2）∈（－∞，14]．
（2）∵当x ＝2a －1时，二次函数f （x ）取得最小值，
∴f （2a －1）≤f （0）．
8．解：（1）当a ＝－1时，f （x ）＝x 2－2x ＋2＝（x －1）2＋1，x ∈[－5,5]．
∵f （x ）的对称轴为x ＝1，∴当x ＝1时f （x ）取得最小值为1；当x ＝－5时，f （x ）取得最大值，且f （x ）max ＝f （－5）＝37.
（2）f （x ）＝x 2＋2ax ＋2＝（x ＋a ）2＋2－a 2的对称轴为x ＝－a .∵f （x ）在[－5,5]上是单调函数，∴－a ≤－5或－a ≥5，解得a ≤－5或a ≥5，∴a 的取值范围是{a |a ≤－5，或a ≥5}．
百尺竿头
解：假设存在，先判定函数的单调性．
设x 1，x 2∈[2,6]，且x 1<x 2，则
()()()()()()()()()212112121212211222111111x x x x f x f x x x x x x x ---⎡⎤-⎣
⎦-=-==------.由
2≤x 1<x 2≤6，得x 1－1>0，x 2－1>0，∴（x 1－1）（x 2－1）>0，又∵x 1<x 2，∵x 2－x 1>0，∵f （x 1）>f （x 2），∴函数21
y x =-在区间[2,6]上是单调减函数． ∴函数在[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即当x ＝2时，取最大值，且最大值为2；在x ＝6时，取最小值，最小值为0.4.。