Biblioteka 长的1 ;3
(2) 重心与三角形一个顶点的连线的长是对应中线长
的2 ;
3
(3) 重心分中线所成两条线段的比为2∶1.
知2－练
1 如图所示，已知点E、F分别是△ABC的边AC、
AB的中点，BE、CF相交于点G，FG＝1，则CF
的长为( )
A．2
B．1.5
C．3
D．4
知2－练
2 给出以下判断： (1) 线段的中点是线段的重心； (2) 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角 形的重心； (3) 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点； (4) 三角形的重心是它的中线的一个三等分点． 那么以上判断中正确的有( ) A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
拓展：由三角形三条中位线组成的三角形与原三角形相似，
它的周长等于原三角形周长的 1 ，面积等于原三角形面
积的 1 .
2
4
知1－讲
例1 如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC
的中点，若BC＝6 cm，则DE的长为___3_c_m___．
导引：直接根据三角形的中位线定理
解答即可．因为D，E分别是边
BC
易推知点
E也是AC的中点，并且
DE
1 BC .
2
画画看， 你能有什
现在换一个角度考虑，如果已知点D、E分别 么猜想？
是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE//BC?
DE与BC之间又存在怎样的数量关系呢？
知识点 1 三角形的中位线
猜想
如图，在△ABC中，点D、E分别是 AB与AC 的中点.根据画出的图形， 可以猜想： DE // BC,且DE = 1 BC.
第23章 图形的相似
23.4 中位线
1 课堂讲解
三角形的中位线 三角形的重心
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
在23.3节中，我们曾得到如下结论:
A
如图, 在△ABC中，DE//BC，则
△ADE∽△ABC.
在推理过程中，我们由DE∥BC推得
AD AB
AE AC
DE .那么当点D是AB的中点时，利用该比例式容
CE AD 3
证明：连结ED. ∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE//AC
，
DE AC
=
1 2
.
(三角形的中位线平行于第
三边，并且等于第三边的一半).
∴△ACG∽△DEG, ∴ GE = GD DE 1 .
GC GA AC 2
∴ GE = GD 1 . CE AD 3
知2－讲
1. 三角形的重心的定义：三角形的重心是三角形三 条中线的交点．
总结
知1－讲
三角形的中位线定理是证明两条线段倍分关 系的重要依据．当已知线段的中点求某条线段的 长度时，通常要考虑运用三角形的中位线定理解 答．
知1－练
1 如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，
D,E,F分别为AB,BC,AC的中点，连结DF，FE,则
四边形DBEF的周长是 ( ) A．5 B．7 C．9 D．11
运用中位线定理证明线段相等或计算线段长度的方法： 当题目中有中点时，特别是有两个中点时，如果
中点都在一个三角形中，直接用中位线定理.如果不在 一个三角形中，就需要作辅助线取某边上的中点，构 造三 角形的中位线，然后利用中位线定理及相关的知 识解决问题.
1.必做: 完成教材P79-80，习题23.4T1-T4 2.补充: 请完成《XXXXX》剩余部分习题
2 对此，我们可以用演绎推理给出证明.
知1－导 C
证明：在△ABC中，
∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴ AD AE 1 .
AB AC 2
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC ∵∠ADE = ∠ABC, DE AD 1 ,
BC AB 2
∴ DE BC,且DE 1 BC.
2
知1－导
知1－讲
感谢
聆听
授课老师：xxx
2. 三角形重心的性质：三角形的重心与一边中点的 连线的长是对应中线长的 1 . 3
知2－讲
例4 如图所示，在△ABC中，G为重心，连结AG并延长，交 边BC于点D，若△ABC的面积为6 cm2，则△BGD的面 积为________．
导引： 由点G为△ABC的重心可知AD为
BC边上的中线，且DG＝
1. 三角形中位线的定义： 连结三角形两边中点的线段叫做三
角形的中位线．一个三角形共有3条中位线.
易错警示：三角形的中位线要与三角形的中线严格区别开来，
三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段，而三角形
的中线是三角形的顶点与对边中点的连线．
2. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并
且等于第三边的一半．
知1－练
2 如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中 点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC， ∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是( ) A．15° B．20° C．25° D．30°
知识点 2 三角形的重心
知2－导
例3 如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的
中点，AD、CE相交于点G.求证： GE GD 1 .
1 3
AD，
故S△ABD＝
1 2
S△ABC＝3
cm2，
由△BGD与△ABD同高不等底易
得 S BGD DG 1 ,
S ABD AD 3
故S△BGD＝
1 3
S△ABD＝
1 3
×3＝1(cm2)．
总结
知2－讲
已知三角形的重心求线段的长度或比值时，要
准确把握以下几点：
(1) 三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线
AB，AC的中点，
所以DE是△ABC的中位线，
所以DE＝
1 2
BC＝
1 2
×6＝3(cm)．
知1－讲
例2 求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相 平分. 已知：如图, 在 △ABC 中，AD =DB， BE=EC, AF = FC. 求证：AE、DF互相平分.
证明：连结DE、EF. ∵AD = DB,BE = EC, ∴DE//AC(三角形的中位线平行于第 三边，并且 等于第三边的一半). 同理可得EF//BA. ∴四边形ADEF是平行四边形. ∴ AE、DF互相平分.