|PN|，即|PM|2＝2|PN|2，结合图形由勾股定理转化为|PO1|2 －12＝2(|PO2|2－12)．设 P(x，y)，由距离公式写出代数 关系式，化简整理可得．
解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建 立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2， 0)．
由已知|PM|＝ 2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2. 因为两圆的半径均为1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)． 设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 即(x－6)2＋y2＝33， 所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝ 0)． 【反思感悟】 本题求点的轨迹，考查建坐标系和数形结合 思想，利用勾股定理、两点间距离公式等知识，巧妙探求 动点P满足的条件．
【知能要点】 1．回顾坐标系有关概念，体会坐标系的作用． 2．了解建立坐标系的方法和原则． 3 ． 坐 标 伸 缩 变 换 φ ： x′＝λx，λ>0，
y′＝μy，μ>0.
题型一 平面直角坐标系
坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上 起过划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架 起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的方 法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一 个点的位置．它使几何概念得以用代数的方法来描述，几 何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数 方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法 应用于几何学的研究． 建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题， 如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决．
【例1】如图所示，圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1，|O1O2|＝4，过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为切点)，
使得|PM|＝ 2|PN|，试建立适当的坐标
系，求动点 P 的轨迹方程．
分析 本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立
坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：|PM|＝ 2
∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝2.
这表明动点 M 与两定点 C2、C1 的距离的差是常数 2.根据 双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大，与 C1 的距离小)，这里 a＝1，c＝3，则 b2 ＝8，设点 M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为 x2－y82＝1
(x<0)．
【例2】 如图所示，四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A(－1， 3)，B(－3，－2)，C(4，－2)，D(3，4)，求四边形ABCD 的面积．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是平
面直角坐标系中任意一点，在变换_φ_：___xy_′′_＝＝__μλ_xy_，，__λμ_>>_0_0__的
作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角 坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
【思维导图】
1．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和 B，根据两圆外切的条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|. ∵|MA|＝|MB|，
极坐标系
极坐标的概念
1课时
点的极坐标与直角坐标的互化 1课时
直线和圆的极坐标方程
1课时
曲线的极坐标方程与直角坐标 方程的互化
柱坐标系和 球坐标系
圆锥曲线统一的极坐标方程 两种坐标系的概念
1课时 1课时 2课时
平面直角坐标系
1.坐标系 (1)坐标法：根据几何对象的_特__征__，选择适当的坐标系， 建立它的_方__程__，通过_方__程__研究它的_性__质__及_与__其__他__几__何__ _图__形__的__关__系__． (2)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐 标系，用坐标和方程表示问题中涉及的_几__何__元素，将几何 问题转化成_代__数__问题；第二步，通过代数运算，解决代数 问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成_几__何__结论．
2．平面直角坐标系的作用 平面直角坐标系的作用：使平面上的点与_坐__标__(_有__序__实__数__ _对__)，曲线与_方__程__建立联系，从而实现_数__与__形__的结合．
3．平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩 变换就可归结为_坐__标__伸缩变换，这就是用_代__数__方__法__研究 _几__何__变换．
【学习目标】 1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标
系的作用． 2．通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平
面图形的变化情况． 3．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系
和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标 和直角坐标的互化． 4．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点 或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐
北师大版高中数学选 修4-4坐标系与参数方
程全套PPT课件
平面直角坐标系
【综合评价】 通过直角坐标系，平面和空间中的点与坐标(有序数
组)、曲线与方程建立了联系，实现了数形结合，这些数 所表示的几何含义是不同的，同一曲线在不同坐标系下的 方程也有不同形式．因此我们研究几何图形时以根据需 要选择不同的坐标系．本讲介绍了极坐标系、柱坐标系和 球坐标系，其中极坐标系是重点内容，同学们要认真领会 极坐标系下直线和圆的方程，理解它们的特点、意义.
标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面 图形时选择适当坐标系的意义． 5．了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法， 并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会 它们的区别． 【学习计划】
内容
学习重点
建议学习时间
平面直角坐 坐标系的选择；直角坐
标系
标系下的伸缩变换
2课时