(2)双曲线ax22－by22＝1
的参数方程为xy＝＝abtsaenc
θ θ
(θ 为
参数)．
(3)抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为xy＝＝22pptt2 .
热点分类突破
题型一 极坐标与直角坐标(方程)的互化 例 1 (1)点 P 的直角坐标为(1，－ 3)，求点 P 的极坐
例 2 (2010·广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线
ρ ＝ 2sin θ 与 ρcos θ ＝ － 1 的 交 点 的 极 坐 标 为 __( _2_,_43_π_)_． 思维启迪 (1)化为直角坐标方程求交点，再将交点
坐标化为极坐标．
(2)直接联立极坐标方程求解．
解析 曲线ρ＝2sin θ化为直角坐标系方程为x2＋y2－2y＝
主干知识梳理
1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极 轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设 M 是 平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为 (x，y)和(ρ，θ)，则
x＝ρcos θ y＝ρsin θ
ρ2＝x2＋y2
， tan
θ＝xy(x≠0)
标将不唯一． (2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范 围．要注意转化的等价性．
变式训练 1 求曲线 ρ＝4sin θ 的直角坐标方程．
解 ∵ρ＝4sin θ， ∴ρ2＝4ρsin θ， ∴x2＋y2＝4y， 即 x2＋(y－2)2＝4. ∴曲线的直角坐标方程为 x2＋(y－2)2＝4.
题型二 曲线的极坐标方程的应用
第3讲 坐标系与参数方程 感悟高考 明确考向
(2010·广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ(cos θ ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为_1_，__π2_．
解析 曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 化为直角坐标方程为 x ＋y＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1 化为直角坐标方程为 y－x
＝
1.
联
立
方
程
组
x＋y＝1， y－x＝1，
得
x＝0， Leabharlann y＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为1，π2.
考题分析 本小题考查了极坐标的概念，曲线的极坐 标方程以及利用曲线的极坐标方程求曲线的交点问 题．考查了极坐标的基础知识以及运用极坐标解决问 题的能力．
易错提醒 (1)易忽略 ρ≠0 的条件和 0≤θ<2π. (2)忽视极坐标与直角坐标的互化．
(θ 为参数)．
(1)化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表 示什么曲线；
0. 由ρcos θ＝－1可化为x＝－1.将x＝－1代入x2＋y2－2y＝0
得x＝－1，y＝1，因此交点的直角坐标为(－1,1)，化为

极坐标为

2，34π.
探究提高 解决这类问题一般有两种思路．一是将极 坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标， 再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立， 根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条 件及隐含条件．
圆心C的直角坐标为( 22， 22)， 故C点满足直线l的方程，则直线l经过圆C的圆心， 故直线被圆所截得的弦长为直径，为2.
题型三 参数方程及其应用
例3
(2009·海南)已知曲线 C1：xy＝＝3－＋4＋sinctos t，
(t
为参数)，曲线
C2：xy＝＝83csions
θ， θ
(1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)当圆心位于 M(r,0)，半径为 r：ρ＝2rcos θ； (3)当圆心位于 M(r，π2)，半径为 r：ρ＝2rsin θ.
4．直线的参数方程
过定点 M(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方
程为xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
标(0≤θ<2π)； (2)将曲线的极坐标方程 sin θ＝13化为直角坐标方程． 思维启迪 用极坐标与直角坐标的互化公式求解．
解 (1)∵P 的直角坐标为(1，－ 3)， ∴ρ＝ 12＋(－ 3)2＝2，tan θ＝yx＝－ 3. 又点 P 在第四象限，0≤θ<2π，∴θ＝53π. ∴P 的极坐标为(2，53π)．
(2)∵sin θ＝13，∴ρsin θ＝13ρ， ∴y＝31 x2＋y2，∴x2＝8y2， ∴y＝ 42x，y＝－ 42x.又 y＝13 x2＋y2>0， ∴y＝ 42x(x>0)和 y＝－ 42x(x<0)．
探究提高 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一 定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐
.
2．直线的极坐标方程
若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，
则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点：θ＝α； (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； (3)直线过 M(b，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b. 3．圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0 几个特殊位置的圆的极坐标方程
变式训练 2 在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方程 为 ρsin(θ＋π4)＝1，圆 C 的圆心是 C(1，π4)，半径为 1. (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长．
解 (1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD＝π4－θ或∠AOD＝θ－π4， OA＝ODcos(4π－θ)或OA＝ODcos(θ－π4)， 所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－4π)． (2)直线l的直角坐标方程为x＋y－ 2＝0，
α， α
(t 为参数)．
5．圆的参数方程
圆心在点 M(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为
x＝x0＋rcos θ y＝y0＋rsin θ
(θ 为参数，0≤θ≤2π)．
6．圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆ax22＋by22＝1
的参数方程为xy＝＝abcsions
θ θ
(θ 为
参数)．