平面二自由度机械臂动力学分析
姓名：黄辉龙 专业年级：13级机电 单位：汕头大学
摘要：机器臂是一个非线性的复杂动力学系统。

动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，这里主要对平面二自由度机械臂进行动力学研究。

拉格朗日方程在多刚体系统动力学的应用方法分析平面二自由度机械臂的正向动力学。

经过分析，得出平面二自由度机械臂的动力学方程，为后续更深入研究做铺垫。

关键字：平面二自由度 动力学方程 拉格朗日方程
相关介绍
机器人动力学的研究有牛顿-欧拉（Newton-Euler ）法、拉格朗日(Langrange)法、高斯（Gauss ）法等，但一般在构建机器人动力学方程中，多采用牛顿-欧拉法及拉格朗日法。

欧拉方程又称牛顿-欧拉方程，应用欧拉方程建立机器人机构的动力学方程是指研究构件质心的运动使用牛顿方程，研究相对于构件质心的转动使用欧拉方程，欧拉方程表征了力、力矩、惯性张量和加速度之间的关系。

在机器人的动力学研究中，主要应用拉格朗日方程建立机器人的动力学方程，这类方程可直接表示为系统控制输入的函数，若采用齐次坐标，递推的拉格朗日方程也可以建立比较方便且有效的动力学方程。

在求解机器人动力学方程过程中，其问题有两类：
1)给出已知轨迹点上•
••θθθ、及、
，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩矢量τ。

这对实现机器人动态控制是相当有用的。

2)已知关节驱动力矩，求机器人系统相应各瞬时的运动。

也就是说，给出关节力矩矢量τ，求机器人所产生的运动•
••θθθ、及、。

这对模拟机器人的运动是非常有用的。

平面二自由度机械臂动力学方程分析及推导过程
1、机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。

机器人动力学方程的具体推导过程如下：
1) 选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量n r ,,2,1,r ⋅⋅⋅=θ。

2) 选定相应关节上的广义力r F ：当r θ是位移变量时，r F 为力；当r θ是角度变量时，r F 为力矩。

3)求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。

4) 代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。

2、下面以图1所示说明机器人二自由度机械臂动力学方程的推导过程。

1）如图1，设
2
1
,θ
θ是广义坐标，
2
1
,Q
Q是广义力。

2）分别求出两杆的动能和势能
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
sin
,
2
1
2
1
:1θ
θ
c
c
c
T
c
gl
m
U
I
v
v
m
E=
+
=
•
杆
（1-1）
]
sin
[
,
2
1
2
1
:2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
）
（
）
（
杆θ
θ
θ
θ+
=
+
+
=
•
•
l
g
m
U
I
v
v
m
E
c
c
T
c
（1-2）
式中，
1c
v是杆1质心)
,
(
1
1
1c
c
y
x
C的速度向量，
2c
v是杆2质心)
,
(
2
2
2c
c
y
x
C的速度向量。

它们可以根据质心
2
1
,C
C的位置方程导出。

3）分别求出两杆的速度
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
)
sin
(
)
cos
(
1
1
1
1
1
1
1
θ
θ
l
dt
d
l
dt
d
dt
dy
dt
dx
v
c
c
c
（1-3）
[]
[]⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
)
sin(
sin
)
cos(
cos
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
2
θ
θ
θ
θ
θ
θ
c
c
c
c
c
l
l
dt
d
l
l
dt
d
dt
dy
dt
dx
v
（1-4）
4）代入拉格朗日方程求得机械臂动力学方程
根据具有完整理想约束的有N 个广义坐标系统的拉格朗日方程 n r Q q U q E q E dt d r r r r ,2,1,⋅⋅⋅==∂∂+∂∂-⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂• （1-5）
式中，r q 是第r 个广义坐标，E 是系统动能，U 是系统势能，r Q 是对第r 个广义坐标的广义力。

该问题为二自由度的动力学研究，所以n=2，由于势能函数U 与广义速度无关，即•∂∂r q U
=0。

由（1-5）式可写成： r r r Q q L q L dt d =∂∂-⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂• （1-6）
其中，是拉格朗日算子L U E L ,-=
可知在这里拉格朗日算子为：2121U U E E L --+=
代入式（1-6）可导出相应的式子，经过整理得：
Q g C M =++•
••)(),()(θθθθθ （1-7）
式中 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=•21212122211211,)(,),(,)(Q Q Q g g g C C C M M M M M θθθθ []⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+++==+-=+==++=+++++=•
••)cos()cos(cos cos sin ),2(sin ,)cos ()cos 2(212222*********
22122212221212222221221222122221222122212121111θθθθθθθθθθθθθc c c c c c c c c c c c c gl m g l l g m gl m g l l m C l l m C I l m M M M I l l l m M I l l l l m I l m M 式（1-7）为机械臂在关节空间的动力学方程的一般结构形式，它反映了关节力矩和关节变量、速度、加速度之间的函数关系。

对于n 个关节的机
械臂，)(θM 是n n ⨯的正定对称矩阵，是θ的函数，称为机械臂的惯性矩阵；),(•
θθC 是nx1的离心力和科氏力矢量；)(θg 是nx1的重力矢量，与机械臂的形位θ有关。