一、各种位置面的投影特性
⒈ 投影面垂直面 V 在它垂直的投影面上
的投影积聚成直线。该直 X 线与投影轴的夹角反映空 间平面与另外两投影面夹 角的大小。
Z
βγ
oW
H
Y
另外两个投影面上的投影有类似性。
一、各种位置面的投影特性
⒉ 投影面平行面
V
在它所平行的投影面上 的投影反映实形。
A
W
另两个投影面上的投影
分别积聚成与相应的投影轴
H
平行的直线。
一、各种位置面的投影特性
Z
⒊ 一般位置平面 V
三个投影都类似。
X
O
W
H Y
与投影轴平行
a b
c
a b
与投影轴 a 倾斜
c a
水平面
b c c
b
铅垂面
二、属于平面的点和线
1、面上作线的方法：
面上作线先找点
解法一
m a
m a
b n c
b nc
根据定理二
解法二
d
a'
c'
交即直s线d/，/a则b、两平
e'
面平s行e/。/ac
b
d
s´d´//a´b´,
s´e´//a´c´,
a
s
相交直线SD和SE
所确定的平面即
c
为所求。
e
例2：判别平面△ABC与四边形DEFG是否平行。
e'
d' X
d
e
f'
m'
b'
n'
g' a'
g a
n
m f
b
分析：在任一平 c' 面线面作dd内 ， 内图′′mn′′作 若 也/：///两 在 能aa′′bc相 另 作′′ 交 一 出直 平 与
之再对作应出平其行水的平两 O相投交影直d线m和，d则n。两 c 平由面于平d行m/。/ab、
dn//ac 所以△ABC与四 边形DEFG平行。
例3：判断下列平面与平面 P 是否平行。
PV
QV
PH
QH
(a)
(b)
(c)
(d)
P∥aபைடு நூலகம்c
§ 3-2 相交问题
直线与平面相交 平面与平面相交
u直线与平面相交
bk a
n
平面ABC是一铅垂
面，其水平投影积聚成
一条直线，该直线与mn
的交点即为K点的水平
c
投影。
用线
作图
上取
c ① 求交点
点法
n ② 判别可见性 直观法
由水平投影可知，KN段 在平面前，故正面投影上
kn为可见。
⑵ 直线为特殊位置
空间及投影分析
交点是 分界点
a
a
b m
直线MN为铅垂线，其水平
k●
投影积聚成一个点，故交点K
例3：过点M作一直线与 平面平行。
c'
b'
m'
●
若平面为特殊位置平
a'
n'
面，则直线应与该平
面的积聚投影平行。
a
c
m
●
n
b
n
n
有无数解
直线与平面平行判定：
若一直线平行于平面内任一 直线，则该直线与平面平行。
若平面为特殊位置平面，则直 线应与该平面的积聚投影平行。
例1：判断直线与平面是否平行？
b'
k'
d'
a'
c'
e'
kb d
a
e
ck 不平行de, 故直线与平面
不平行。
c
例2：判断直线与平面是否平行？
m' e' e
m
d' n' f'
平行
s'
d
f s
n
不平行
a' b'(d') c' k'
d a
k
c
b
例3：判断直线与平面是否平行？
(a)
(b)
(c)
(d)
△∥b、c、d
二、平面与平面平行
b
① 若一平面上的两相 交直线对应平行于另 一平面上的两相交直 线，则这两平面相互 平行。
§3－1 平行问题
′′
′
′
′
′
一、 直线与平面平行
几何条件
若一直线平行于某平面的一条 直线，则此直线平行于该平面。
例1：过点M作直线MN平行于平面ABC。
b
d
n
c m
a
●
b
d
n
a
m●
c
有多少解？
有无数解
例2：过M点作直线MN 平行于V 面和平面ABC。
b
正平线
d
a
c m
n
●
c
a
d
m●
n
b
唯一解
H
行，且平行于平面的同面迹线
Y
作属于平面的投影面平行线时，应先作 平行于投影轴的那个投影，再按补作属 于平面的直线所缺投影作出其它投影。
王雷
§3－1 平行问题
线、面相对位置包括平行、相交（垂直）。
平行问题
包 括
直线与平面平行 平面与平面平行
一、 直线与平面平行
几何条件
若一直线平行于某平面的一条 直线，则此直线平行于该平面。
b′
n′
●
e′
h′ ●m′
c′
f′
b
n ●
d(e)
a ● h(f) m c
a
b
n ●
d(e)
m● h(f) c
同面的异侧，异面的同侧, 可见性相反。
（2）两平面互交
b
f
m ●
d
a
k ●
n
●
e
c
f
b
一、投影积聚性法
当直线或平面垂直投影面时，利用其 投影积聚性来求解的方法。
• 积聚性投影的出现，相当于共有元素的一 个投影已知，就使问题的性质转化为面上 找点或线上找点的问题。
• 可见性一般能直接看出，不必另行作图判断。
1. 线、面相交
⑴ 平面为特殊位置
空间及投影分析
交点是
b
分界点
k ●
a
m
m
●
c 的水平投影也积聚在该点上。
●
n 1(2)
作图
用面上
b m(nk)● 2
●
1
① 求交点
取点法
c ② 判别可见性 利用重影点
点Ⅰ位于平面上，在前；
点Ⅱ位于MN上，在后。
故k2为不可见。
⒉ 两平面相交
⑴ 一个平面为特殊位置 空间及投影分析
d′ a′
h′
平面DEFH是一铅垂
交线是 面，它的水平投影有积
b
c a
b d
a
c
根据定理三
二、属于平面的点和线
2、面上取点的方法：
首先面上取线、 然后线上找点
①
bd
●k
c
a
b
d
a
●k
c
②
a a
b
k●
c
k● b c
在面内作辅助线求解 利用平面的积聚性求解
三、属于平面的投影面平行线
V
在任意平面上都存在着无数 条水平线、正平线、侧平线
X
Z
o
W
平行于同一投影面的直线彼此平
交点是直线与平面的共有点。
●
●
要讨论的问题：
Ø 求交点。 Ø 判别可见性,即判别两者之间的相互遮挡关系。
§ 3-2 相交问题
u平面与平面相交
直线与平面相交 平面与平面相交
d'
h′
交线为直线，是两平面的 共有线。
要讨论的问题：
b′
n● ′
e′
● m′
c′
f′
Ø 求交线。(共有点)
Ø 判别可见性,即判别两者之间的相互遮挡关系。
② 若两投影面垂直面 相互平行，则它们具 有积聚性的那组投影 必相互平行。
c d a
c
a
d
b
b d
a c
e
d
b
ac
e
e f
f e f
h h f
例1： 已知平面△ABC与面外一点S，试过点S 作一平面与平面△ABC平行。
d' 分作析图：：过点作两
b'
相过交点直S作线直对线应平
s'
行SD于//平AB面,S内E/两/B相C.
m′
●
分界线 聚性，其与ac、bc的交 点m 、n 即为两个共有
b′
n′
●
点的水平投影，故mn即
c′
为交线MN的水平投影。
e′
f′
作图 ① 求交线
a
② 判别可见性
直观法
bn ● d(e)
h(f)
●
m
同面的异侧,异面的同侧
可见性相反
c
交线是可见与否分界线
d′
h′
a′
● m′
b′
n′
●
e′
c′
f′
d′