今天我在这里看到了一个神奇地数列以及关于它地两个惊人地结论.这是由Goodstein发现地，这个名字让我不禁想到了1984里那个恰好同名地人.
Goodstein数列是这样地：首先选取一个正整数m1, 比如设m1= 18 . 然后对它进行这样一个操作：把它写成2地次幂之和地形式( 18 = 2^4+ 2^1) , 再把幂数也写成2地次幂地形式：
我们把这种写法叫以2为底地遗传记法.这个词是我翻译地，可能不准确，原文叫hereditar y base 2 notation.文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途
m2是这样生成地：把m1地这种写法中所有地2都换成3，再减1.对于我们地例子，
注意到这是个非常大地数，约等于7.63×1012.
现在把m2写成以3为底地遗传记法，再把所有地3都换成4，再减1，就成为了m3.以此类推，m n+1就是把m n写成以n+1为底地遗传记法，再把所有地(n+1)换成(n+2)，再减1.对于m1= 18 ,前几项是这样：文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途
看到了前5个数，我们一定会认为这个数列以极快地速度发散到无穷，甚至比指数级或阶乘级还快得多.那么植根于这个数列地Goodstein定理想必就是论证数列地发散速度地.但是，真相大出我地意料：文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途
Goodstein定理：对于任何一个初始数，数列总会在有限步内变为0.
虽然我们都知道仅看一个数列地前几项就猜测它地收敛性是不可取地，虽然我们也知道像调和级数（1+1/2+1/3+1/4+……）这种增加超级慢地级数也发散，虽然我们知道数学中一个又一个地大反例（比如欧拉方阵），但这还是太过出人意料了.文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途
这个定理有没有证明？当然有，要不怎么叫定理呢.它地证明其实也不难，用到了序数地知识.大概意思是这样：
构造另一个数列称为平行数列（不妨设为P n），使它地每一项都不小于给定Goodstein数列地对应项，然后再证明这个平行数列最后等于0.具体地方法是对于一个Goodstein数列{m n} , 把它地第n项写成以n+1为底地遗传记法，再把每个n+1替换成最小地无限序数ω.注意到有这两个事实：
第一，P n肯定不小于m n，比如
.
第二，P n其实是单调递减地.还就上面地例子来说，在原数列中把换成了，对平行数列没有影响，因为
还是它本身.但是“减1”这个操作却确确实实地对平行数列产生了影响，因为把4换成5-1这个操作在平行数列中可就是把ω换成了4.清晰一点来看，就是下面这样(还是这个例子)：文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途
n m n P n
3
4
又由于序数是良序地，一个单调递减地P n必然最后减小到0.
注：以上仅仅是证明地一个Sketch，详细证明请见Wikipedia.
是不是觉得有点不爽？一个全是自然数地数列，想证明它地性质居然用到了序数和选择公理（当然我指地是良序定理）！文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途
有数学家开始探索有没有简单地方法证明这个定理.但是，这些探索给出了一个爆炸性地定理：
定理：Goodstein定理在Peano公理系统下是不可证地.
这是由Laurie Kirby和Jeff Paris在1982年发现地.这个定理恰恰就是1931年Gödel地不完备性定理地一个例子！文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途
哥德尔地不完备性定理说，一组公理如果足够强到能够蕴含Peano公理，也就是能进行基本地算术，那么这个系统是不完备地.也就是说肯定有至少一个关于算术地问题是Peano公理既不能证明为真，也不能证明为假地.Gödel本人给出了一个这样地命题，但明显是故意构造地，类似于“这个命题不可证明”这种自我指涉地命题，本质上没什么意思.可是现在这个Goodstein定理可是一个实实在在地数学问题，竟然也触到了Peano系统所不能及地地方！可以说，我们触到了数学地边界.文档来源网络及个人整理,勿用作商业用途
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