数学方法论论文
HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
研究生课程论文
论文题目 数学归纳法在中学数学中的灵活使用 课程名称 数学方法论 专 业 学科教学（数学） 年 级 研一
学 院 数计院 日期(年月日) 2014年1月14日 数学归纳法在中学数学中的灵活使用
摘 要：本文主要从数学归纳法的整体结构出发,对数学归纳法的原理与方法、理论
与应用进行分析,并介绍了数学归纳法在解决几何证明、数列证明、不等式证明和
数的整除证明等方面的灵活运用，目的是通过应用数学归纳法解题从而培养学生的
运算能力、观察能力、逻辑思维能力和解决综合性问题的能力。

关键词：数学归纳法；中学数学；问题分析
每一个数学研究工作者都必须精通某些微观的数学方法论，才能有效地开展科
研工作，获得丰硕成果。

教师们也必须熟知这些方法论才能实行启发式教学法。

下
面就让我来介绍数学归纳法在中学数学中的灵活使用。

数学归纳法是数学中一种证明与自然数 n 有关的数学命题的重要方法，是通
过有限次的验证、假设和论证来代替无限次的事例的验证，从而达到严格证明命题
的目的，也就是把从某些特殊情况下归纳出来的规律，利用递推的方法，从理论上
证明这一规律的一般性。

合理地运用数学归纳法解决问题是中学数学教学中的一个
重要内容。

首先我们来看看数学归纳法的基本原理，数学归纳法来源于皮亚诺(peano)自
然数公理，自然数有以下性质：
(1)1是自然数字；
(2)每一个确定的自然数α,都有一个确定的后继数β,β也是自然数；
(3)1不是任何自然数的后继数；
(4)一个数只能是某一个数的后继数,后者根本不是后继数,即当βα=n 的时候
一定有βα=；
(5)任意一个自然数的集合如果包含1，并且包含α，也一定包含α的后继
数 β,那么这个集合包含所有的自然数。

性质(5)就是数学归纳法的根据。

数学归纳法原理的形式有很多种,在此我只给出与中学数学内容有关的形
式及其变形,并揭示它的逻辑结构。

形式：设 p(n)是关于自然数 n 的命题，若①p(1)成立；②"n ∈N ，若 p(n)成立→p(n+1)成立,则 p(n)对 "n ∈N 都成立。

变形:设 p(n)为自然数 n 的命题，若①()0n p 成立()N n ∈0；②"n ∈N ，
0n n >，若 p(n)成立→p(n+1)成立。

则 p(n)对 "n ∈N,0n n >都成立。

根据数学归纳法原理的形式,我们在证明有关的自然数命题时可相应地按
照以下两个步骤来进行:
①验证 p(1)是成立(奠基步骤)；
②假设 p(n)成立，导出 p(n+1)也成立（归纳步骤）；
由①、②可知 p(1)对 "n ∈N 成立。

这就是数学归纳法的最基本的形式,通常称作第一数学归纳法。

数学归纳
法的中心思想是:用有限次的验证和一次逻辑推理,代替无限次的验证过程,实现从无限到有限的转化。

学生学会了数学归纳法,意味着既掌握了一种证明方法,可以解决很多以前
他们解决不了的问题,又开拓了知识领域。

但在利用数学归纳法证明的过程中,不仅会遇到各种技巧上的困难,而且即使学生具有应用数学归纳法的技巧,也常常不能真正理解它的含义。

因此,数学归纳法是一个教学难点,在中学数学教学中应给予足够的重视。

下面我们就来看看数学归纳法的灵活应用：
一、解决几何问题可应用数学归纳法
用数学归纳法证明几何问题的关键是: 由“n=k 时命题成立”,到“n=k+1 时命题成立”。

应理解为由 k 个几何元素又增加了一个元素到k+1 个,要找出增加的元素与原来的 k 个几何元素的关系及其引起的几何元素的变化,找到 f(k+1)与 f(k)的关系。

例 1：平面上有 n 条直线,其没有两条平行,也没有三条直线交于一点,求
证这 n 条直线共有()12
1-=n n P n 个交点。

证明(1)当 n=2 时,12=P ,命题成立；
(2)假设当 n=k(k>2)时,命题成立。

即 k 条直线有()12
1-=k k P k 个交点。

当n=k+1时,增加了一条直线,由于没有两条直线平行,也没有三条直线相交于
一点, 所以新增加的直线与原来 k 条直线各有一个交点,就是比 n=k 条直线时增加了 k 个交点,即
k P P k k +=+1（即(f(k+1)=f(k)+k)
就是当 n=k+1 时,命题也成立。

由(1)和(2)知,对任意自然数 n,命题都成立。

二、 求解数列问题可借助数学归纳法
由于数列与自然数有直接的联系,因而,在数列问题的证明中常常用到数学
归纳法的方法进行证明。

例2：已知数列{}n a 的通项公式()2124-=
n a n ，数列{}n b 的通项满足()()()n n a a a b ---=11121 。

证明n
n b n 2112-+=。

证明：()111++-=n n
n a b b ，()111++-=n n n a b b （1)当 n=1 时,()()2112341111-+=
-=-=-=a b 成立； （2）假设k k b k 2112-+=，则()1112112++--+=k k a k
k b =
()()121112+-++k k 即 n=k+1 时命题成立。

由(1),(2)得n
n b n 2112-+=。

三、 证明不等式可妙用数学归纳法
用数学归纳法证明不等式,在将 f(k)过渡到 f(k+1)时,为了利用归纳假设,在变形中常用替换法放大(或缩小)不等式。

例3：证明对于5≥n 的自然数,有22n n >。

证明：(1)当 n=5 时,左边 =32,右边 =25,不等式成立。

(2)假设当 n=k(k>5)时,不等式成立,即 22k k >，当 n=k+1,有k k 2221⨯=+ 2222k k k +=；
而(
)k k k k k k k 5,552222>>+>+ 又12522++>+k k k k ； 即当 n=k+1 时,不等式也成立。

由(1)和(2)知,不等式成立。

这里我们是先形成不等式的一边(大的一边),再将另一边(小的一边)通过用k k 52+替换()2
1+k ，再用22k 替换k k 52+进行放大(根据题的需要也可先形成小的一边,缩小大的一边),利用了归纳假设。

在证的过程中,也可先从()2112+>+k k 出发进行分析,然后再综合证明。

采用分析法是数学归纳法常用的思考方法。

四、证明整除性问题可利用数学归纳法
证明整除性问题,在从 f(k)过渡到 f(k+1)时,一般的“变形”是将 f(k+1)变化表示为 f(k+1)=g(k)f(k)+h(k)的形式(必须变为这种形式,才能利用归纳假设),由归纳假设知 g(k)f(k)能被整除,关键是 h(k)也能被整除。

例4：用数学归纳法证明98322--+n n 是64的倍数。

证明：（1)当 n=1 时，649183212=-⨯-+⨯原命题成立。

（2)假设当 n=k(k>1)时,原命题成立,即M k k 6498322=--+()是整数M ；
当 n=k+1 时，()()9883918342212---=-+-+++k k k k ；
变形 898899893922⨯+⨯+⨯-⨯-⨯+k k k ()()6464983922++--=+k k k
由归纳假设知 98322--+k k 是 64 的倍数,（这里一定要用归纳假设),又64k+64=64(k+1)也是64的倍数。

即当n=k+1 时,原命题成立。

由(1)和(2)知,对任意自然数 n,原命题成立。

总之,数学归纳法的应用比较广泛,可以讲凡是关系到自然数的结论都可以用它来验证。

在中学数学教学过程中,教师应当给学生指出采用观察－猜测－论证的方法来解决问题；并且在学生做了一定的练习之后，上一堂错误例分析课，可促使学生更好地掌握数学归纳法。

学习和应用数学归纳法能够培养学生的运算能力、观察能力、数学化能力、逻辑思维能力和解决综合性问题的能力。

另外,它也是初等数学与高等数学衔接的一个纽带，是初等数学中非常重要的一部分。

参考文献：
［2］孙德菊.累计数学归纳法.数学通报,2001,.
［3］吴宪芳,郭熙汉.数学教育学.武汉:华中师范大学出版社,1996.
56-57.
［4］熊全淹.近世代数.武汉:武汉大学出版社,.。