表6-2
本阶段始点 （状态）
C1 C2 C3
阶段3 本阶段各终点（决策）
D1 8+10=18 7+10=17 1+10=11
D2 6+6=12 5+6=11 6+6=12
到E的最短距离
12 11 11
本阶段最优终点 （最优决策)
D2 D2 D1
分析得知：如果经过C1，则最短路为C1-D2-E； 如果经过C2，则最短路为C2-D2-E； 如果经过C3，则最短路为C3-D1-E。
到E的最 本阶段最优终 短距离 点(最优决策)
12
C2
最后，可以得到：从A到E的最短路径为A B4 C3 D1 E
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6
§1 问题的提出
以上计算过程及结果，可用图2表示，可以看到，以上方法
不仅
得到了从A到E的最短路径，同时，也得到了从图中任一点到E的最
短路径。
4 14
A
3
3
2
12 B1 2
3.决策与决策变量
决策：在某阶段对可供选择状态的决定（或选择）。
s 决策变量：描述决策的变量。常用xk(sk)表示第k阶段处于状态
的决策变量，它是状态变量的函数。
k时
4.策略与子策略
策略是一个决策序列的集合。由所有各阶段的决策组成的决 策函数序列称为全过程策略，简称策略，记为： P1,n(s1)。
子策略：从第k个阶段开始到最后阶段的决策组成的决策函数 序列称为k子过程策略，简称子策略，记为： Pk,n(sk)
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5
§1 问题的提出
第一阶段：只有1个始点A，终点有B1,B2,B3,B4 。对始点和终 点进行分析和讨论分别求A到B1,B2,B3,B4的最短路径问题：
表6-4
本阶段始 点(状态)
A
阶段1 本阶段各终点（决策）
B1
B2
B3
B4
4+12=16 3+13=16 3+14=17 2+12=14
状态就是阶段的起始位置。它既是该阶段某支路的起点，又是 前一阶段某支路的终点。状态可以是数量，也可以是字符，数量状态 可以是连续的，也可以是离散的。
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10
§2 基本概念、基本方程与最优化原理
状态变量：描述过程状态的变量称为状态变量。它可用一个数、
s 一 常组一数个或阶一段向有量若（干多个维状情态形。）第k来阶描段述的，状常态用就是k第该k阶阶段段所的有状始态点变的量集。合通。
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4
§1 问题的提出
第二阶段：有4个始点B1,B2,B3,B4，终点有C1,C2,C3。对始点和终点进行分 析和讨论分别求B1,B2,B3,B4到C1,C2,C3 的最短路径问题：
表6-3
本阶段始点 （状态）
B1 B2 B3 B4
阶段2 本阶段各终点（决策）
C1 2+12=14 4+12=16 4+12=16 7+12=19
C3
D2
6
75 1
4
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E 2
§1 问题的提出
用穷举法的计算量，非常大。
讨论：
1、以上求从A到E的最短路径问题，可以转化为四个性质完全相同， 但规模较小的子问题，即分别从Di 、Ci、Bi、A到E的最短路径问题。
第四阶段：两个始点D1和D2，终点只有一个；
表6-1
本阶段始点 （状态）
阶段4 本阶段各终点（决策） 到E的最短距离
E
D1
10*
10
D2
6
6
分析得知：从D1和D2到E的最短路径唯一。
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本阶段最优终点 （最优决策)
E E
3
§1 问题的提出
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点 和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路 径问题：
第六章 动态规划
§1 问题的提出 §2 基本概念、基本方程与最优化原理 §3 动态规划的应用
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1
§1 问题的提出
一、引例—— 最短路径问题
下图表示从起点A到终点E之间各点的距离。求A到E的最短路径 。
4
3 A
3 2
2 B1
1 6
4
B2
7
2
C1
8
6
7 C2 5
D1
10
48 B3 3
1 6
多阶段决策问题：把一个问题看作是一个前后关联具有链状结 构的多阶段过程，也称为序贯决策过程。
2.适用范围
如果一个问题可将其过程划分为若干个相互联系的阶段问题， 且它的每一阶段都需要进行决策，则这类问题均可用动态规划方法进 行求解。
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§2 基本概念、基本方程与最优化原理
一、基本概念
C2 1+11=12 7+11=18 8+11=19 5+11=16
C3 6+11=17 2+11=13 3+11=14 1+11=12
到E的最 短距离
12 13 14 12
本阶段最优终 点（最优决策)
C2 C3 C3 C3
分析得知：如果经过B1，则走B1-C2-D2-E； 如果经过B2，则走B2-C3-D1-E； 如果经过B3，则走B3-C3-D1-E； 如果经过B4，则走B4-C精3品-D课1-件E。
（2）对问题的求解是从全局考虑解决局部（阶段）的问题。
（3）各阶段选取的决策依赖于当前的状态，又随即引起状态的转移，整 个决策序列就是在变化的状态中产生出来，故有“动态”含义。
（4）决策过程是与阶段发展过程逆向而行。
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§1 问题的提出
二、动态规划的含义及适用范围 1.动态规划
动态规划是解决一类多阶段决策问题的优化方法，它是考察 问题的一种途径，而不是一种算法。
61
13 4 B2 7
2
48 B3 3
12 C1 8
6
11 7 C2
5
1
C3 6
10
D 1 10
0
E
D2 6 6
14
11
75 1
B4 12
以上过程，仅用了22次加法，计精算品效课件率远高于穷举法。
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§1 问题的提出 从引例的求解过程中可以得到以下启示：
（1）对一个问题是否用上述方法求解，其关键在与能否将问题转化为相 互联系的多个阶段的决策问题。
1.阶段和阶段变量
用动态规划方法求解问题时，首先将问题的全过程适当地分 成若干个互相联系的阶段，以便能按一定的次序去求解。
阶段的划分，一般根据时序和空间的自然特征来划分。如引例 可按照空间划分为4个阶段。
阶段变量：描述阶段的变量称为阶段变量。用k表示，引例中， k=1,2,3,4.
2.状态和状态变量sk
最优策略：能够达到总体最优的策略。
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11
§2 基本概念、基本方程与最优化原理
5. 状态转移方程
它是确定过程由某一阶段的一个状态到下一阶段另一状 态的演变过程，用sk+1=Tk(sk, xk)表示。该方程描述了第k阶段到第 k+1阶段的状态转移规律。因此又称为状态转移函数。