第一讲：相对运动一．参照系的巧妙选取1. 一小船在河中逆水划行，经过某桥下时，一草帽落于水中顺流而下，半小时后划船人才发觉，并立即掉头追赶，结果在桥下游8km 处追上草帽，求水流速度的大小.设船掉头时间不计，划船速率及水流速率恒定.2. 火车以速度v 1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s 处有另一火车沿同方向以速度v 2（对地，且v 1>v 2）做匀速运动。

司机立即以加速度a 紧急刹车，要使两车不相撞，a应满足什么条件？3．A 球自塔顶自由落下，当她下落高度a 时，另一球B 在离塔顶高度b 处开始自由落下，结果两个球同时落地，则B 球的下落时间为多少4． 在十字交叉路口，当汽车甲经交叉路口向南行驶时，汽车乙正在叉路口正东方向距离路口L 处向路口行驶，已知甲、乙均作匀速直线运动，甲的速度为1v ，乙的速度为2v ，求：（1）经多长时间，甲、乙两车相距最近？ （2）甲、乙两车的最小距离为多大？二．矢量的计算1.矢量的加法2.矢量的减法三．相对运动[情景：]在无风的下雨天，你会看到窗外的雨丝入帘，垂直而下，若在开动的汽车中，你会看到雨丝的帘幕似乎飘了起来，车速愈大，雨丝帘幕愈加倾斜。

怎么定量说这个事情呢？我们不妨研究三个物体A 、B 、C (1)标出B 相对A 的位移S BA ；C 相对于A 的位移S CA ； 以及C 相对于B 的位移S CB.(2)根据方才学习的矢量加法的知识，说出三者之间的关系（3）根据以上知识，画出车的运动和雨滴运动之间关系的矢量图CA BAB A[相关练习]1．两个物体A 和B 同时分别以速度A v 和B v 抛出，速度方向如图，则A 相对于B 做什么运动？2．.从离地面同一高度h （h 足够大）、相距l 的两处同时各抛出一个石块，一个以速度1v 竖直上抛，另一个石块以速度2v 向第一个石块原来的位置水平抛出，求两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离？3．火车在雨中以30m/s 的速度向南行驶，雨被风吹向南方，在地球上静止的观察者测得单个雨滴的径迹与铅直方向成030，而坐在火车里的乘客看到雨的径迹却恰好沿铅直方向，求雨相对于地球的速率。

4．模型飞机以相对于空气h km /39的速度绕着一个边长为km 2的等边三角形飞行，设风速h km u /21=，方向与三角形的一边平行，并和飞机起飞方向相同，问：飞机绕三角形一周需要多少时间？AB5.几辆相同的汽车以等速度v 沿宽为c 的直公路行驶，每车宽为b ，前后两车头尾间距为a ，则人能以最小速度沿一直线穿过马路所用的时间为多少？6．一辆坦克以速度v 1=54km/h 行驶，子弹与坦克的运动方向成角060=ϕ以速度h km v /18000=射到坦克的正面防护板上，被板弹开。

求弹开的子弹将以怎样的速度飞行？7.在赤道上的A 处静止放置一个小物体，现在设想地球对物体的万有引力突然消失，在数小时内，小物体相对于A 点处的地面来说，将（ ）A.水平向东飞去B.原地不动，物体对地面的压力消失C.向上并逐渐向西飞去D.向上并逐渐向东方飞去8.一帆船在静水中顺风飘行，风速为v0，问：船速多大时，风供给船的功率最大？（设帆面是完全弹性面，且与风向垂直）9.在海面上有三艘轮船，船A以速度u向正东方向航行，船B以速度2u向正北方向航行，船C以速度22u向东偏北45º方向航行。

在某一时刻，船B和C恰好同时经过船A的航线并位于船A的前方，船B到船A的距离为a，船C到船A的距离为2a.若以此时刻作为计算时间的零点，求在t时刻B、C两船间距离的中点M到船A的连线MA绕M点转动的角速度。

第二讲牵连关系一.几个重要的牵连关系关系1:杆上各点沿杆方向的速度方向分量相等。

[相关练习]水平面上，当杆下滑至如图所示的位置时.(1)杆端A点和B点速度关系是什么?(2)A相对于B作什么运动?【发散1】如图所示，长为L的轻质杆两端有质量均为m的两个相同的小球A和B，A靠在竖直壁上，B与地接触，两处均60角，放手后A下滑，B右滑，不计磨擦，开始时杆与水平成︒θ时A刚好脱离壁，此刻当=υ= 。

B【发散2】四根同样的硬杆长均为L，杆端用铰链相连，构成菱形，其对角线BD比对角线AC长，菱形平放在桌面上，某时刻A和C两顶点以同样大小的速度v沿直线AC朝相反的方向开始运动，求当菱形变成正方形时顶点B相对桌面的加速度？CD【发散3】如果杆长为l ，杆的中点固定了一质量为m 的小钢珠，B 端匀速向右运动，速度大小为B v ，求当060=θ时，杆对小钢珠的作用力。

关系2:用两根绳连接的物体，沿绳方向的速度相等（因为绳不可伸长）。

[相关练习]1.人拉船过程中，人的速度为0v 假设绳子与水平方向的夹角为θ时，船的速度多大？如果在人匀速拉船，则船做的是什么运动？如果此时船和滑轮之间的绳长为l ，人的速度为0v ，绳子与水平方向的夹角为θ，船运动的加速度为a,则此时人的加速度为多大？【发散1】距离河岸（看成直线）500m 处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为min /1r 转动，当光速与岸边成600时，光束沿岸边移动的速率为______________【发散2】如图所示，AB 为水平的光滑细杆，另一细杆OP 可饶AB 上方距AB 高为h 的O 轴转动，两杆都穿过环Q 。

若使OP 杆饶O 以角速度ω逆时针转动，则当OP 与竖直方向的夹角为300时，环Q 的速度为多大？[发散3]（清华2011）如图，纸面内两根足够长的细杆ab 、cd 都穿过小环M ，杆ab 两端固定，杆cd 可以在纸面内绕过d 点并与纸面垂直的定轴转动。

若杆cd 从图示位置开始，按照图中箭头所示的方向，以匀角速度转动，则小环M 的加速度A ．逐渐增加 B. 逐渐减小 C ．先增加后减小 D. 先减小后增加【发散4】如图所示，半径R ＝0.6m 的光滑半圆细环竖直放置并固定在水平桌面上，环上套有质量为1kg 的小球甲，用一根细线将小球甲通过两个光滑定滑轮B 、D 与质量为2kg 的小物体乙相连，滑轮的大小不计，与半圆环在同一竖直平面内，它们距离桌面的高度均为h ＝0.8m ，滑轮B 恰好在圆环最高点C 点的正上方。

初始时将甲拉至半圆环左边最低点A 处，然后将甲、乙由静止开始释放，则当甲运动到离桌面高度为_________m 时，甲、乙速度大小相等；当甲运动到C 点时的速度大小为________m/s 。

（g ＝10m/s 2）αA B OP Q B甲O h乙C D A【发散5】如图所示，在绳的A 端以速率v 做匀速收绳从而拉物体M 做水平方向的直线运动，当绳AB 与水平方向恰好成α角时，物体的速度为___________。

关系3:两个相互接触的刚体，可将其运动沿切线方向和法线方向分解，则沿着法线方向的速度相等。

[相关练习]1..如图，三个相同的圆柱体紧靠在在一起后开始运动，达到如图位置.如果此时A 球的速度大小为A v ，则此时B 球的速度为多大？[发散].水平地面上整齐堆放着三个质量分布均匀，长度相等，半径为r 的光滑圆柱体，设三个圆柱体的质量分别为m m m m C B A 222===，若从图示位置释放，求A 落地时的速度？2.如图，一个倾角为θ的斜面靠墙放在光滑的水平面上，一个半径为R 的圆柱体靠着光滑的竖直墙面放在斜面上，如果此时圆柱体的速度为1v ，斜面体的速度为2v ，则21v v 和的关系为________3.顶杆AB 可在竖直滑槽K 内滑动，其下端由凸轮M 推动，凸轮绕O 点以角速度ω转动，在图示的瞬间，r OA =，凸轮轮缘与A 接触处的法线n 与OA 的夹角为α，试求此瞬间AB 的速度为_______4一个半径为Ｒ的半圆柱体沿水平方向向右作加速度为ａ的匀加速运动，在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，当圆柱体速度为ｖ时，杆与半圆柱体接触点Ｐ与柱心的连线与竖直方向的夹角为θO5．如图所示，B 是质量为m B 、半径为R 的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。

A 是质为m A 的细长直杆，被固定的光滑套管C 约束在竖直方向，A 可自由上下运动。

碗和杆的质量关系为：m B ＝2m A 。

初始时，A 杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）。

然后从静止开始释放A ，A 、B 便开始运动。

设A 杆的位置用θ 表示，θ 为碗面的球心O 至A 杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角。

求A 与B 速度的大小（表示成θ 的函数）。

6.如图所示，一根长为l 的细刚性轻杆的两端分别连结小球a 和b ，它们的质量分别为m a 和m b . 杆可绕距a 球为l 41处的水平定轴O 在竖直平面内转动．初始时杆处于竖直位置．小球b几乎接触桌面．在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m 的立方体匀质物块，图中ABCD 为过立方体中心且与细杆共面的截面．现用一水平恒力F 作用于a 球上，使之绕O 轴逆时针转动，求当a 转过角时小球b 速度的大小．设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b 与立方体物块始终接触没有分离．不计一切摩擦．a O bAB CDF7．一木板坚直地立在车上，车在雨中匀速进行一段给定的路程。

木板板面与车前进方向垂直，其厚度可忽略。

设空间单位体积中的雨点数目处处相等，雨点匀速坚直下落。

下列诸因素中与落在木板面上雨点的数量有关的因素是A、雨点下落的速度B、单位体积中的雨点数C、车行进的速度D、木板的面积8．放映电影时，看到影片中的一辆马车从静止起动，逐渐加快。

在某一时刻车轮开始倒转。

已知电影放映机的速率是每秒30幅画面，车轮的半径是0.6米，有12根辐条。

车轮开始倒转时马车的瞬时速度是__________米/秒。

9.有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管，管内为真空，管内有一小球自某处自由下落（初速度为零），落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞．以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。

现用支架固定一照相机，用以拍摄小球在空间的位置。

每隔一相等的确定的时间间隔T拍摄一张照片，照相机的曝光时间极短，可忽略不计。

从所拍到的照片发现，每张照片上小球都处于同一位置。

求小球开始下落处离玻璃管底部距离（用H表示）的可能值以及与各H 值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值。

第三讲:抛体运动抛体运动是一种重要的曲线运动形式，按照抛出的初速度的方向与重力方向的关系，可将抛体运动划分为竖直上抛、竖直下抛、平抛和斜抛。

根据运动的叠加原理，抛体运动一般可以分解为竖直方向的匀变速直线运动和水平方向的匀速直线运动。

以斜上抛为例，如图所示，取抛体轨迹平面为Oxy 平面，抛出点为坐标原点，则抛体运动的规律为： 0a x =θcos v v 0x = g a y -= gt sin v v 0y -=θt cos v x 0•=θ20gt 21t sin v y -•=θ其轨迹方程为：2220x cos 2v gx tg y θθ-= 斜抛运动还有一种接法是：沿着初速度方向的匀速直线运动和自由落体运动。