|e
x
sin x | e
0 x
而积分
所以


0
e0 x dx 收敛，


0
e x sin x dx 在 [0 ,) (0 0) 内一致收敛
狄利克雷判别法;
若 (i) N c, 含参量反常积分 f ( x, y)dy 对参数x在[a, b] c
sin ydy 关于 x [0,) 不一致收敛.
在上式两端对 y 求导，得
d ( y ) f ( x, y ) dx dy a
定理证毕。
含参量反常积分的性质
• 连续性
设f ( x, y)在[a, b] [c,)上连续， 含参量反常积分
I ( x)
c
f ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛, 则I ( x)在[a, b]上连续.

A2
A1
f ( x, y )dy .
一致收敛的充要条件; 含参量反常积分
c
f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛的充要
条件是:对任一趋于 的递增数列 An (其中 A1 c ),函数
项级数

n 1

An1
An
f ( x, y )dy un ( x) 在 [a, b] 一致收敛.



M
f ( x, y )dy ,
则称含参量反常积分 c f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛于 I ( x) .
3 、 含参量反常积分一致收敛的判别方法
一致收敛的柯西准则: 含参量反常积分
c
f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛的充要
条件是 0, M c, A1 , A2 M , x [a, b], 都有


A
f ( x, y y ) dx
又 f ( x, y) 在 [a, A; c, d ] 上连续，所以

A
a
f ( x, y ) dx
作为 y 的函数在 [c, d ] 连续，于是
0, 0, 当| y | 时,
从而，当 | y | 时，有

A
n 1

魏尔斯特拉斯M判别法:
设有函数
g ( y ) ,使得
f ( x, y) g ( y), a x b, c y .
若 g ( y)dy 收敛， 则
c c
f ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛.
魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法
若 且


函数g ( x, y) e xy 对每个x [0, d ]单调且对任何
0 y d , x 0都有 g ( x, y ) e xy 1.
由阿贝耳判别法知， 含参量反常积分


0
e
xy
sin x dx 在 x
[0, d ] 上一致收敛.
例3 : 证明含参量反常积分 在 [a,) 上一致收敛 (a 0).
I ( x)
c
f ( x, y)dy, x [a, b]
称为定义在 [a, b] 上的含参量 x 的无穷限反常积分, 或 简称为含参量反常积分.
2、 含参量反常积分一致收敛的定义
对于含参量反常积分 c f ( x, y)dy 和函数 I ( x)

若 0, N 0, M N , x [a, b], 都有
A
A
从而 y [c, d ]

所以
A
A
f ( x, y ) dx F ( x ) dx
A
A


a
f ( x, y) dx 关于 y [c, d ] 一致收敛。
例1 解


0
e x sin x dx 在 [0 ,) (0 0) 内一致收敛
因为
证:
cos xy 1 由于y R有 , 2 2 1 x 1 x dx 而反常积分 收敛 2 0 1 x 故有魏尔斯特拉斯M判别法知
含参量反常积分


0
cos xy dx 在 (,) 上一致收敛. 2 1 x
xy sin x 例2 : 证明含参量反常积分 e dx 0 x 在 [0, d ] 上一致收敛. sin x 证 : 由于反常积分 dx 收敛 0 x (当然， 对于参量y, 它在[0, d ]上一致收敛)
N
上一致有界，
(ii ) x [a, b], 函数g ( x)关于y是单调递减且当y 时
对参量x, g ( x, y)一致地收敛于0, 则含参量反常积分


c
f ( x, y) g ( x, y)dy
在[a, b]上一致收敛.
阿贝耳判别法:
若 (i )


c
f ( x , y )dy 在[a , b]上一致收敛;
a
f ( x, y y ) dx f ( x, y ) dx
a
A
| I ( y y ) I ( y ) |
定理证毕。

A
a
f ( x, y y ) dx f ( x, y ) dx
a
A


A
f ( x, y y ) dx


A
f ( x, y ) dx 3
在 [c, d ] 可导，且
d f ( x, y) dx f ( x, y) dx a y dy a
证明
因为 f y ( x, y) 在 [a, ; c, d ] 连续，由连续性定理
a
( y)
f y ( x, y) dx 在 [c, d ]连续，
况可类似处理。
1 、 含参量反常积分的定义设 f ( x, y) 是定义在无界区域 R ( x, y) a x b, c y 上,

若对每一个固定的 x [a, b] , 反常积分




c
f ( x, y)dy
都收敛,则它的值是 x 在区间 [a, b] 上取值的函数,表为
a
b

c
f ( x, y)dy

c
dy
b
a
f ( x, y)dx.
注:
(i)
设f ( x, y)在[a,] [c,)上连续， 若
f ( x, y)dx 关于y在任何闭区间[c, d ]上一致收敛, f ( x, y)dy 关于x在任何闭区间[a, b]上一致收敛;
a c
A A
A
A


c
g ( y) dy 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西
准则，有
0, A0 c, A, A A0 , | g ( y) dy |
A
A
从而 x [a, b]

所以
A
A
f ( x, y ) dy g ( y ) dy
A
A
注:
连续性定理说明， 在一致收敛的条件下， 极限运算
与积分运算可以可以交换顺序.
即:
x x0 c
lim


f ( x, y)dy

c
f ( x0 , y)dy

c
x x0
lim f ( x, y)dy.
• 可微性
设f ( x, y)与f x ( x, y)在区域[a, b] [c,)上连续， 若
一致收敛。
证明 因为

A
f ( x, y ) dx | f ( x, y ) | dx F ( x) dx
A A
A


a
F ( x) dx 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西
准则，有
0, A0 a, A, A A0 , | F ( x) dx |
2. 积分顺序交换定理
设 f ( x, y) 在 [a, ; c, d ] 上连续，



a
f ( x, y) dx 关于 y
在 [c, d ] 上一致收敛，则 I ( y) a f ( x, y) dx 在 [c, d ]
可积，并且

d
c
dy

a
f ( x, y) dx dx f ( x, y) dy
I ( x)
c
f ( x, y)dy 在[a, b]上收敛,
'


c
f x ( x, y)dy 在[a, b]上一
c
致收敛, 则I ( x)在[a, b]上可微， 且 I ( x)
f x ( x, y)dy.
注 : 可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算
可以交换.即
a c

d
3. 积分号下求导的定理 设 f ( x, y), f y ( x, y) 在 [a, ; c, d ] 上连续，a f ( x, y) dx f y ( x, y ) dx 关于 y 在 [c, d ] 上一致收敛，则 收敛，


a
I ( y)

a
f ( x, y) dx


0
e
ux 2
dx
证:
u [a,), 有 e
而无穷积分 e
0
ux2
e
ax2
.
ax2
dx收敛
故有魏尔斯特拉斯M判别法知
含参量反常积分