• 可微性
设f ( x, y)与f x ( x, y)在区域[a, b]×[c,+∞)上连续， 若
I ( x) = ∫
+∞ c
f ( x, y)dy 在[a, b]上收敛,
'
∫
+∞
c
f x ( x, y)dy 在[a, b]上一
+∞ c
致收敛, 则I ( x)在[a, b]上可微， 且 I ( x) = ∫
+∞
若∀ε > 0, ∃N > 0, ∀M > N, ∀x ∈[a, b], 都有
+∞
∫
+∞
M
f ( x, y)dy < ε ,
则称含参量反常积分 ∫c f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛于 I (x) .
3 含参量反常积分一致收敛的判别方法 、
一致收敛的柯西准则: 含参量反常积分 ∫
+∞ +∞
I ( y) = ∫
+∞
a
f ( x, y ) dx
在 [c, d ] 可导，且
+∞ ∂ d +∞ ∫a f ( x, y) dx = ∫a ∂y f ( x, y) dx dy
证明
因为 f y ( x, y ) 在 [a, + ∞; c, d ] 连续，由连续性定理
+∞ a
ϕ ( y) = ∫
§2 含参量反常积分
1 含参量反常积分的定义 、
2 含参量反常积分一致收敛的定义 、
3 含参量反常积分一致收敛的判别方法 、
本节研究形如
∫
+∞
a
f ( x, y ) dx
∫
b
a
f ( x, y ) dx, ( b 为瑕点)
的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积 的含参变量广义积分的连续性、 性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情 下面只对无穷限积分讨论， 况可类似处理。 况可类似处理。
在[a, b]上一致收敛.
阿贝耳判别法:
若 (i )
∫
+∞
c
f ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛;
(ii ) ∀x ∈[a, b],函数g( x, y)为y的单调函数， 且对参量x,
g( x, y)在[a, b]上一致有界， 则含参量反常积分
∫
+∞
c
f ( x, y) g( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛.
∫
+∞
函数g ( x, y) = e− xy 对每个x ∈[0, d ]单调且对任何
0 ≤ y ≤ d , x ≥ 0都有 g ( x, y) = e−xy ≤ 1.
由阿贝耳判别法知， 含参量反常积分
∫
+∞
0
e
− xy
sin x dx 在 x
[0, d ] 上一致收敛 上一致收敛.
例3 : 证明含参量反常积分 在 [a,+∞) 上一致收敛 (a > 0).
若∫ g ( y)dy 收敛， 则∫
c +∞ +∞ c
f ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛.
魏尔斯特拉斯（ 魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法 ）
若
| f ( x, y) |≤ g ( y), a ≤ x ≤ b, c ≤ y < +∞
且
∫
+∞
c
g ( y ) dy 收敛，则 ∫
∫
+∞
a
F ( x) dx 收敛，则 ∫
+∞
a
f ( x, y ) dx 关于 y ∈ [c, d ]
一致收敛。 证明 因为
∫
∫
+∞ a
A′
A
f ( x, y ) dx ≤ ∫ | f ( x, y ) | dx ≤ ∫ F ( x) dx
A A
A′
A′
F ( x) dx 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西
准则，有
∀ε > 0, ∃A0 > a, ∀A, A′ > A0 , | ∫ F ( x) dx |< ε
A
A′
从而 ∀y ∈ [c, d ]Leabharlann ∫所以A′
A
f ( x, y ) dx ≤ ∫ F ( x) dx < ε
A
A′
∫
+∞
a
f ( x, y ) dx 关于 y ∈ [c, d ] 一致收敛。
=∫
+∞
a
f ( x, y ) dx − ∫
f ( x, c) dx
在上式两端对 y 求导，得
d +∞ ϕ ( y ) = ∫ f ( x, y ) dx dy a
定理证毕。
含参量反常积分的性质
• 连续性
设f ( x, y)在[a, b]×[c,+∞)上连续， 含参量反常积分
I ( x) = ∫
+∞ c
a
A
| I ( y + ∆y ) − I ( y ) |≤ +
定理证毕。
∫
A
a
f ( x, y + ∆y ) dx − ∫ f ( x, y ) dx
a
A
∫
+∞
A
f ( x, y + ∆y ) dx +
∫
+∞
A
f ( x, y ) dx < 3ε
2. 积分顺序交换定理 设 f ( x, y ) 在 [a, + ∞; c, d ] 上连续，
例1 解
∫
+∞
0
e −α x sin x dx 在 α ∈ [α 0 ,+∞) (α 0 > 0) 内一致收敛
因为
| e −α x sin x |≤ e −α 0 x
而积分
∫
+∞
0
e −α 0 x dx 收敛，
所以
∫
+∞
0
e −α x sin x dx 在 α ∈ [α 0 ,+∞) (α 0 > 0) 内一致收敛
A
A′
从而 ∀x ∈ [a, b]
∫
所以
A′
A
f ( x, y ) dy ≤ ∫ g ( y ) dy < ε
A
A′
∫
+∞
c
f ( x, y ) dy 关于 x ∈ [a, b] 一致收敛。
魏尔斯特拉斯（ 魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法 ）
若 且
| f ( x, y) |≤ F ( x), a ≤ x < +∞, c ≤ y ≤ d
∫
− ax2
+∞
0
e
−ux2
dx
证:
∀u ∈[a,+∞), 有 e
而无穷积分∫ e
0 +∞
证明 因为
∫
+∞
a
f ( x, y ) dx 在 [c, d ] 内一致收敛，所以
+∞ A
∀ε > 0, ∃A0 > a, ∀A > A0 , ∀y ∈ [c, d ], | ∫
因此，当 y ∈ [c, d ] 时，
f ( x, y ) dx |< ε
∫
+∞
A
f ( x, y + ∆y ) dx < ε
I ( x) = ∫
c
f ( x, y)dy, x ∈[a, b]
的无穷限反常积分, 称为定义在 [a, b] 上的含参量 x 的无穷限反常积分 或 简称为含参量反常积分. 简称为含参量反常积分
2 含参量反常积分一致收敛的定义 、
对于含参量反常积分 ∫c f ( x, y)dy 和函数 I (x)
证:
cos xy 1 由于∀y ∈ R有 ≤ , 2 2 1+ x 1+ x +∞ dx 而反常积分 ∫ 收敛 0 1+ x2 故有魏尔斯特拉斯M判别法知
含参量反常积分
∫
+∞
0
cos xy dx 在 (−∞,+∞) 上一致收敛 上一致收敛. 2 1+ x
− xy sin x 例2 : 证明含参量反常积分 e dx 0 x 上一致收敛. 在 [0, d ] 上一致收敛 +∞ sin x 证 : 由于反常积分 ∫0 x dx 收敛 (当然， 对于参量y, 它在[0, d ]上一致收敛)
f x ( x, y)dy.
注 : 可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算
可以交换.即
+∞ ∂ d +∞ ∫c f (x, y)dy = ∫c ∂x f (x, y)dy. dx
• 可积性
设f ( x, y)在区域[a, b]×[c,+∞)上连续， 若 I ( x) = ∫
在[a, b]上一致收敛, 则I ( x)在[a, b]上可积， 且
f ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛, 则I ( x)在[a, b]上连续.
注:
连续性定理说明， 在一致收敛的条件下， 极限运算
与积分运算可以可以交换顺序.
即:
x→x0 c
lim ∫
+∞
f ( x, y)dy = ∫
+∞
c
f ( x0 , y)dy = ∫
+∞
c
x→x0
lim f ( x, y)dy.
条件是:对任一趋于 条件是 对任一趋于 + ∞ 的递增数列 {An } (其中 A1 = c ),函数 其中 函数 项级数