2019-2020年高二数学上册8.1《向量的坐标表示及其运算》教案四沪教版
一、教学内容分析
向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以
及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定
量的描述.本节课是8.1向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与 “数、式”
结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一
方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为下节课定比分点（三点共
线）的教学提供基础.
二、教学目标设计
1．掌握向量模的求法，知道模的几何意义；
2．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要条件的证明方式；
3．会用平行的充要条件解决点共线问题；
4．感悟向量作为工具解题的优越性.
三、教学重点及难点
课本例5的演绎证明；
分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用；
特殊——一般——特殊的探究问题意识.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
创设问题情景
问题一、已知向量.
（1）在坐标平面上，画出向量；并求= ；
（2）若向量终点Q 坐标为，则向量的始点P 坐标为_______；
（3）向量的模与两点P 、Q 间距离关系是 .
若 (,)Q P Q P a PQ x x y y ==--，则(a PQ x ==
练习1：已知向量，求
[说明] 在问题一中，先给出向量，要求学生在坐标平面上画出向量，增强数形结合的解题
意识，感悟向量的模即平面上两点的距离.由此发现并掌握向量模的求法及几何意义.安排（2）
小问的目的在于复习巩固位置向量与自由向量的概念，体会并感悟到任何一个自由向量都可
转化为位置向量.通过自由向量与位置向量的学习，引出向量平行的概念.
向量平行的概念：对任意两个向量，若存在一个常数，使得成立，则两向量与向量平行，记
为：.
问题探究反思
问题二.在坐标平面上描出下列三点,完成下列问题：
（1）请把下列向量的坐标与模填在表格内：
（2）通过画图，你得出什么结论？
三点A 、B 、C 在一条直线上
（3）分析表格中向量的模，你发现了什么？
（4）分析表格中向量，你还发现了什么？
，，
[说明] 养成解题后反思的习惯，总结如何判断三点共线？
方法一：计算三个向量的模长关系.
方法二：看两个非零向量之间是否存在非零常数.
（5）分析表格中向量坐标，你又发现了什么？
向量坐标之间存在比例关系.
思考：如果向量用坐标表示为，则是的（）条件.
A、充要
B、必要不充分
C、充分不必要
D、既不充分也不必要
由此，通过改进引出
课本例5 若是两个非零向量，且，
则的充要条件是.
分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨.
证明：分两步证明，
（Ⅰ）先证必要性：
非零向量存在非零实数，使得，即
，化简整理可得：，消去即得
（Ⅱ）再证充分性：
（1）若,则、、、全不为零，显然有，即
（2）若，则、、、中至少有两个为零.
①如果，则由是非零向量得出一定有，，
又由是非零向量得出，从而，此时存在使，即
②如果，则有，同理可证
综上，当时，总有
所以，命题得证.
[说明] 本题是一典型的代数证明，推理严密，层次清楚，要求较高，是培养数学思维能力的良好范例.
练习2：
1．已知向量，，且，则x为_________；
2．设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（）
①存在一个实数λ，使=λ或=λ；②；③(+)//(－)
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
3．设为单位向量，有以下三个命题：（1）若为平面内的某个向量，则；(2)若与平行，则；（3）若与平行且，则.上述命题中，其中假命题的序号为；
[说明] 安排此组练习快速巩固所学基础知识，当堂消化，及时反馈.
知识拓展应用
问题三：已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=____ （学生讨论与分析）
[说明] 三点共线的证明方法总结：
法一：利用向量的模的等量关系
法二：若A 、B 、C 三点满足，则A 、B 、C 三点共线.
*法三：若A 、B 、C 三点满足，当时，A 、B 、C 三点共线.
课外探索学习
课外作业：
1．练习册P38：4、5、6、7
补充作业：
1．关于非零向量和，有下列四个命题：
（1）“”的充要条件是“和的方向相同”；
（2）“” 的充要条件是“和的方向相反”；
（3）“” 的充要条件是“和有相等的模”；
（4）“” 的充要条件是“和的方向相同”；
其中真命题的个数是 （ ）
A ． 1 B. 2 C. 3 D. 4
2．质点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，－3）（即点P 的运动方向与相同，且每
秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后该质点P 的坐标为
（ ）
A ．（－2，4）
B ．（－30，25）
C ．（10，－5）
D ．（5，－10）
3．已知向量(cos ,sin ),(3,1)a b αα==-，则的最大值为 .
4．设C 、D 为直线上不重合的两点，对于坐标平面上动点，若存在实数使得，则= .
5．在直角坐标系xOy 中，已知点和点，若点C 在∠AOB 的平分线上，且，则=_________.
6．已知＝（5，4），＝（3，2），求与2－3平行的单位向量.
2019-2020年高二数学上册8.4《向量的应用》教案（2）沪教版
一、教学内容分析
向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用．
本小节的重点是结合向量知识证明数学中直线的平行、垂直问题，以及不等式、三角公式的证明、物理学中的应用．
二、教学目标设计
1、通过利用向量知识解决不等式、三角及物理问题，感悟向量作为一种工具有着广泛的应用，体会从不同角度去看待一些数学问题，使一些数学知识有机联系，拓宽解决问题的思路．
2、了解构造法在解题中的运用．
三、教学重点及难点
重点：平面向量知识在各个领域中应用．
难点：向量的构造．
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、复习与回顾
1、提问：下列哪些量是向量？
（1）力 （2）功 （3）位移 （4）力矩
2、上述四个量中，（1）（3）（4）是向量，而（2）不是，那它是什么？
［说明］复习数量积的有关知识．
二、学习新课
例1（书中例5）
向量作为一种工具，不仅在物理学科中有广泛的应用，同时它在数学学科中也有许多妙用！请看
例2（书中例3）
证法（一）原不等式等价于)1(22
12122212121x y y x y y x x +≤，由基本不等式知（1）式成立，故原不等式成立．
证法（二）向量法
［说明］本例关键引导学生观察不等式结构特点，构造向量，并发现（等号成立的充要条件是）
例3（书中例4）
［说明］本例的关键在于构造单位圆，利用向量数量积的两个公式得到证明．
二、巩固练习
1、如图，某人在静水中游泳，速度为 km/h.
（1）如果他径直游向河对岸，水的流速为 4 km/h ，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？
答案：沿北偏东方向前进，实际速度大小是8 km/h ．
（2） 他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少？ 答案：朝北偏西方向前进，实际速度大小为km/h ．
三、课堂小结
1、向量在物理、数学中有着广泛的应用．
2、要学会从不同的角度去看一个数学问题，是数学知识有机联系．
四、作业布置
1、书面作业：课本P73, 练习8.4 4
２、（补充）
（1）已知作用于同一物体的两个力、，||=5N，||=3N，、所成的角为，则|+|= 7 ; +与的夹角为．
［说明］力的分解与合成是向量在物理中运用的典型例子之一．
（2）上网查阅柯西——许瓦兹不等式有关知识并整理一些证法．
［说明］①柯西——许瓦兹不等式是一个著名不等式，教学时应加以渗透数学史的教学，并且通过对不同证明方法的整理可以感受数学知识的有机联系以及解决问题的多样性．
②以小组形式，时间为一星期为宜．。