e


3
Ce,V vl ne2l 2mv

mv 2kB e2

LT
洛仑兹常数
L

Байду номын сангаас
3k2B e2
2.23 108(W • Ω/K2)
洛仑兹常数与具体 的金属和温度无关。
11
经典理论的自洽性
由之前的推导 不难算出
ne2
2me
弛豫时间

=
2 me
ne2
平均自由程 l=v平
费米能级在k空间的等能面－费米面； 绝对零度下，金属中电子态被占据和未被占据的能级
分界面； 费米能级是绝对零度下电子的化学势； 自由电子的费米面为球面。
kx
kx

kx
ky
无外场
有无外场
总结归纳
1、特鲁德模型在一定范围内，对于理解金属中电子运动机 制有一定帮助。
2、现代金属电子理论运用量子力学知识，将电子作为费米 子，应用费米-狄拉克统计，描述了电子详细的状态。
rs/1010m 1.72 2.08 2.57 1.41 1.60 1.41 1.73 1.22 1.10 1.27 1.17 1.19
rs/a0
3.25 3.93 4.86 2.67 3.02 2.66 3.27 2.30 2.07 2.41 2.22 2.25 8
金属的电导率
有外电场时金属中自由电子的运动规律 (1)在外电场E的作用下, 金属中的电子在电场的反方向上将获得附加速度; (2)当电子与正离子发生碰撞时, 电子将失去附加速度; (3)碰撞后由于外场的继续作用, 电子又会获得定向运动速度而自由的前进。
每个电子平均占据的体积及其等效球的半径
V 1 4rs3
Nn 3
rs


3
13


4n
rs～10-10m，金属中自由电子气的密度比经典理想气体的浓度(250C时空气的
分子密度为: 2.46×1025个/m3)大1000倍左右(约为:1028～1029个/m3)。
7
经计算，rs～10-10m，
得出
dQ

1 6
nv(
dT dx
)

2mCel

Sdt
金属的热导率

1 3
Celv平
10
魏德曼—弗兰兹定律 (洛仑兹关系)
1.电导率和热导率之间的关系 实验表明：金属的电导率越高，则其热导率也越高。
2.魏德曼—弗兰兹定律 在不太低的温度下，金属的导热系数与电导率之比
正比于温度，其中比例常数的值不依赖于具体的金属。
平均自由程的量级约0.1nm，与金属原子间 距离相近，证明经典理论本身是自洽的
12
关于电阻率的思考
由之前的推导可以
得到：

E
FE e

ma e

m
1
J ne vd ne (a ) ne2 n
电阻率貌似是一个与温度无 关的量。然而，事实是这样 么？
13
经典理论的局限性
1、无法解释电阻率随温度变化的现象。 2、实际测量的电子平均自由程比经典理论估计值大 许多； 3、电子比热容测量值只是经典理论值的百分之一； 4、无法解释半导体、绝缘体导电性与金属的巨大差 异。
费米—狄拉克统计，在平衡时，能量为E的能级 被电子占据的几率为：
f (E)
1
EEF
e kBT 1
—Fermi- Dirac 分布
EF称为费米能量或者化学势
系统的吉布斯自由能随某一组分的物质的量的变 化率
费米能
接近于绝对零度情景下
lim f (E)
T 0
1, E EF
0, E EF
kx

2
2Lx
nx , nx

0,1,2,
ky kz

2Ly
Lz
ny, ny nz , nz
0,1,2, 0,1,2,
经过数学推导，得到
能级
E

2 22
m
(
nx2 L2x

ny2 L2y

nz2 L2z
)
17
费米—狄拉克统计
电子气中的粒子满足泡利不相容原理，服从
周期性边界条件
在金属的自由电子论中，它不完全自由，它的位 置受金属边界的限制
周期性边界条件：
将边界条件与金属电 子的波动方程联立得：
eikxLx 1
(r Lx ) (r) (1) (r Ly ) (r) (2) (r Lz ) (r) (3)
2
选题原因
1、固体中原子核与电子 的分布对于我们研究电磁 学和固体物理起到至关重 要的作用。
2、金属具有良好的导电 性、导热性、延展性。
3、对金属晶体结构和物 性的研究在固体物理中起 到至关重要要的作用。
3
经典电子自由理论
• 1900年，特鲁德首先将金属 中的价电子与理想气体类比，提 出了金属电子气理论。
14
现代金属电子理论
索菲尔（Sommerfeld）模型
索菲尔在量子理论和费米-狄拉克统计的基础上， 重新建立了金属电子论，即索菲尔模型
❖ 电子按能量的分布遵从Fermi－Dirac统计；
❖ 电子的填充满足Pauli不相容原理；
经典模型
现代模型
是否符合泡利不相容原理
波色子
费米子
15
自由电子的量子理论
金属晶体中原子结构
5
特鲁特自由电子模型
四点前提
1、自由电子近似
忽略电子与离子实之间库伦作用
2、独立电子近似
电子之间彼此独立
3、碰撞假设
电子与离子实碰撞瞬间完成，忽略电子间碰撞
4、弛豫时间近似
6
特征参量：自由电子密度n
单位体积内的自由电子数称为自由电子密度。
n

z N A
M
金属密度为 原子价为z 原子量为M 阿伏伽德罗常数为NA
感谢李爷爷，助教李老师 一学期的教诲和帮助
单个电子的运动状态可由 波函数表示
满足薛定谔方程 （Schrodinger equation）
2 2 E
2m
平面波形式的解 :

(r)


eikr
0
其中 r为电子的位置矢量，k 为波矢量.
2k 2 E
2m
p

k
E是电子的能 量本征值
P为电子的动 量本征值
16
电磁学期末报告
金属自由电子理论
Free Electronic Theory of Metals
报告人：杨麒麟 学号： 1210261
1
Outline
1、引言 2、经典电子自由理论
特鲁德模型、电导率、导热率 魏德曼—弗兰兹定律 经典模型的缺陷
3、现代电子自由理论
索菲尔模型 费米-狄拉克统计 费米能
4、总结回顾
习惯上用玻尔半径 a0=0.0529nm为单位作 为度量单位描述
右表列出了一些金属元素 的自由电子密度
元 素=
z
Li 1
Na 1
K1
Cu 1
Ag 1
Mg 2
Ca 2
Zn 2
Al 3
In 3
Sn 4
Bi 5
n/1028 m-3 4.70 2.65 1.40 8.47 5.86 8.61 4.61 13.2 18.1 11.5 14.8 14.1
费米分布函数发生 变化
1 E EF
f
(E
)

1 02
E EF E EF

1
N CE 2 f (E)dE 0
E

1

CE
3 2
f
(E)dE


2C
5
E2
f (E)dE
N
5N
E
0
0
E

3 5
EF0 [1
5 2
12
(
kBT EF0
)2 ]
费米面&费米球
• 1904年，洛伦兹将麦克斯韦玻耳兹曼统计分布规律引入电子 气，据此就可用经典力学定律对 金属自由电子气体模型作出定量 计算。
• 这样就构成了特鲁德-洛仑兹 自由电子气理论，称为经典自由 电子理论
f v
d N f vdv
N
O
v vdv
v
麦克斯韦速率分布曲线
4
特鲁德的葡萄干模型
孤立原子
系统中电子总数可以表示为

N 0 f (E)g(E)dE
g(E) 是电子的态密度
EF0 g(E)dE 0
3
V 2m 2
N 3 2h3
EF0
3 2
EF0

h2 2m

3
2

N V
2
3

h2 2m
3 2n
2 3
在T 0时，可以采用同样的方法
这个过程在周期性晶体点阵中反复不断的进行。
v a =- eE
me 1 v平 = 2 v j nev平
j E
ne2
j ( )E 2me
ne2
2me
9
金属的热导率
单位截面积单位时间传热
dQ dT dsdt
dz z0
利用热力学中推导导
热系数的方法，不难