a = 6, b = -11, c = 3.
x + y + z = 33 x - y = 2 2x + z - y = 24
x y z 33
含有三个方程； 和二元一次方程类似，含有三个未知数，且 含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做 含有三个不同的未知数； 三元一次方程。 未知数的项的次数都是 1. 由三个一次方程组成，并且含有三个未
②解这个二元一次方程组，求得两个未知 数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简 单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这 三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组 的解．
解方程组
x：y：z=2：3：5 x+y+z=200
解：此方程组即为 3x=2y
即： 3z=5y x+y+z=100
x y z 2 3 5 x y z 200
例6
x(x + y + z) = 9 解方程组：y(x + y + z) = 27 z(x + y + z) = 45
① ② ③
解：①＋②＋③，得（x＋y＋z）2=81 ∴ x＋y＋z=±9 ①÷④，得x=±1 ②÷④，得y=±3 ④
③÷④，得z=±5
∴原方程组的解为
x=1 y=3 z=5
新课导入
问题：甲、乙、丙三数的和是33，甲数比乙数大
2，甲数的两倍与丙数的和比乙数大24， 求这三个数．
思考：题目中有几个未知数？含有几个相等关系？ 你能根据题意列出几个方程？ x + y + z = 33 根据题意，列方程组： x - y = 2 2x + z - y = 24 讨论：上面方程组具有什么特点？
z=5
x=3 y=4
因此，三元一次方程组的解为
x=3 y=4 z=5
例3 在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时， y=9；当x=2时，y=26；当x=0时，y=6．求a， b，c的值． 解：根据题意，得三元一次方程组 ① a + b + c = 9 4a + 2b + c = 26 ② c = 6 ③
750 ． 则xyz＝________
x + 2y = 10 2． 三元一次方程组 y - z = -3 的解是 2z - x = 8 x = 4 y = 3 _____________ ． z = 6
3． 三元一次方程组
x = 6 y = 4 z = 5 的解是_____________ ．
把③代入①②，化简，得到一个新的 二元一次方程组
a + b = 3 2a + b = 10
解这个二元一次方程组，得
a = 7 b = -4
a = 7 因此，b = -4 c = 6
答：a=7，b=－4，c=6．
例5 某车间每天能生产甲种零件180个， 或者乙种零件150个，或者丙种零件300个，甲， 乙，丙3种零件分别取3个，2个，1个，才能配 一套，要在30天内生产最多的成套产品，问甲， 乙，丙3种零件各应生产多少天？ 解：设甲种零件生产x天，乙种零件生 产y天，丙种零件生产z天，根据题意，得
，
求：（1）x ： z 的值．（2）y ： z 的值．
3x - 4y = 5z 解：原方程组可化为 x + 2y = 15z x = 7z 解此方程组，得 y = 4z
∴x ： z=7：1．y ： z=4：1．
x : y : z = 1 : 5 : 9 ① 7．解方程组 3x + y - z = -2 ②
x + y + z = 30 180x :150y : 300z = 3 : 2 :1
x + y + z = 30 化简，得 x = 5z y = 4z
解这个方程组，得
x = 15 y = 12 z = 3
答：甲种零件生产15天，乙种零件生产 12天，丙种零件生产3天．
5x－4y=7z
∴x：y：z=20：13：6
课堂小结
解三元一次方程组的基本思路：
通过“代入”或“加减”进行消元，把 “三元”化为“二元”，将三元一次方程组转 化为二元一次方程组，进而转化为一元一次方 程进行求解． 三元一次 消元 方程组 二元一次 消元 方程组 一元一 次方程
随堂练习
1．已知x∶y∶z＝1∶2∶3，且x＋y＋z＝30，
x=－1 或 y=－3 z=－5
Байду номын сангаас
x - 2y + z = 0 例7 己知x ， y ， z 满足方程组 5x - 4y - 7z = 0
求 x ： y ： z的值． 解：把字母z当成已知数，则原方程可变形为 x－2y=－z
10 x= z 3 解这个方程组，得 y = 13 z 6
解：由①可设x=t，则y=5t，z=9t，
代入②得，3t＋5t－9t=－2
∴t=2
∴ x=2， y=10，z=18
x = 2 ∴方程的解是 y = 10 z = 18
习题答案
1．
x = 2, （1） y = -3, 1 z = ; 2 3 x = - 4 , 5 （2） y = ， 3 z = 2.
知数的方程组叫做三元一次方程组
x + y + z = 33 x - y = 2 2x + z - y = 24
代入消元法和加减消元法
三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程
x + y + z = 33 x - y = 2 2x + z - y = 24
③
④
解这个方程组，得 y=2 z=4 把y=2 ，z=4代入①，得 3x－4×2＋4=11 所以 x=5 因此，三元一次方程组的解是 x=5 y=2
z=4
例2 解三元一次方程组
x+y=7 y+z=9 z+x=8
① ② ③
解：①+②+③得2x+2y+2z=24 即 x+y+z=12 ④
④－①得
④－②得 ④－③得
3x - y - z = 9 2x + y - 2z = 6 x + y + z = 15
x + y = 36 4．三元一次方程组 y + z = 56的解是__________． x + z = 46
x = 13 y = 23 z = 33
x－y=2
y－z=3 x＋y＋z=17
①
② ③
x－y=2
y－z=3
①
②
x＋y＋z=17 ②＋③，得
x＋2y=20 ④
③
①与④组成方程组
x－y=2 x＋2y=20 解这个方程组，得 x=8
x=8 y=6
∴
y=6 z=3
把y=6代入②，得 6－z=3 所以z=3
解三元一次方程组的步骤：
①利用代入法或加减法，消去一个未知数， 得出一个二元一次方程组；
解：由②得： 把④代入①得： y 把④代入③得： 2
① ② ③ ④
x y2
y 2 z－y 24
2 y z 33
2 y z 31 y z 20
有一个三位数，已知个位上的数比十位 上的数大2，十位上的数比百位上的数大3， 且个位、十位、百位上的数的和为17，求这 个三位数是多少？ 解：设个位上的数是x、十位上的数是y、 百位上的数是z，根据题意，得
①
② ③ y=75
③×3 －① － ②，得
把y=75分别代入①②，得 3x=2×75 所以x=50 3z=5×75
所以Z=125
因此，三元一次方程组的解为
x=50 y=75 z=125
例1 解三元一次方程组
3x－4y＋z=11
5y－z=6
①
②
4x＋2y－3z=12 解：①×4－③×3，得
－22y＋13z=8 ②与④组成方程组 5y－z=6 －22y＋13z=8
2．
x = 5, （1） y = -2, 1 z = ; 3
x = -1, 1 （2） y = , 2 z = 3.
3．百位、十位、个位上的数字分别为x，y，z．
x + z = y, 7x - y - z = 2, x + y + z = 14.
5x-4y-29z=0 5．已知 并且Z≠0，求x：y的值． X-3y+3z=0
解：把字母z当成已知数，则原方程可变形为
5x－4y=29z
x－3y=－3z
解这个方程组，得 x=9z
y=4z
∴x：y=9：4
3x - 4y - 5z = 0 6．己知： (x , y , z 0) x + 2y -15z = 0
4．原方程组可转化为
x = 2, y = 7, z = 5.
2x - 3y = 0, 4y - 5z = 0, x + y + z = 66.
x = 30, y = 20, z = 16.
a + b + c = -2, 5．a - b + c = 20, 9 3 1 1 a + b + c = a + b + c. 2 9 3 4