§13–１ 引 言
一、引言 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
P 铸铁拉伸
铸铁压缩
M
P
低碳钢
铸铁
P
P
M
二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，
称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。
三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究
sy
2
）2 tx2y
1
0
4
, 即极值剪应力面与主平面成450
例2 分析受扭构件的破坏规律。
C
y Ox
M
txy tyx
解：确定危险点并画其原
t yx
始单元体
t C xy
s x s y 0
t
xy
t
Mn WP
求极值应力
s max
s min
sx
s y
2
（s x
2
s
y
）2
t
2 xy
t
2 xy
t
s1 t ; s 2 0;
图1
考虑切应力互等和三角变换：
s
sx
y
sy
ttxy
n
Ox
t
图2
t xy t yx ;
cos2 1 cos 2 ;
2
sin2 1 cos 2 ;
2
2sin cos sin 2
sy
得：
sx
y
txy
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttxy
Ox 图2
s
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2
t xy
sin 2
同理, 由分离体平衡：
Ft 0
得：
n
t
sx
s y
2
sin 2
t xy
cos 2
t ∴任意斜截面应力s, t可求, 随而变.
二、极值应力
s
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2
t xy
sin 2
s 随而变.
ds
d
sx s y
sin 2 2t xy cos 2
0时,s有最大最小值。
s 取得极值时,t 0极值正应力就是主应力！
低碳钢 铸铁
§13–3 二向应力状态分析——图解法
sy
sx
y
txy
Ox
sx
y
sy
s
ttxy
Ox
一、应力圆（ Stress Circle）
s
s
x
s
2
y
s
x
s
2
y
cos2
t
xy
sin2
t
s
x
s
2
y
sin2
t
xy
cos2
对上述方程消去参数（2），得：
s
sx
s
2
y
2
t
2
s x
s y
2
2
t
2 xy
主平面法线与X轴夹角:
tg 2 0
2t xy sx s y
可求出相差90º的两个0 ,定两个互相垂直 平面,分别对应最大、最小主应力:
s s s s s s t m m a in xx2 y± （ x2 y） 2x 2 y
y O
sy
sx
txy
x
s1 s max s1(smax)在切应力相对的象限内，
t t
max min
R半径
s
max
s
2
min
（s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
圆心(s
x
s
2
y
,0);半径 （s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
§13–4 复杂应力状态简介
1、空间应力状态
y
s1
t
s2
s3
z
x
s3
s2
s
s1
2、三向应力分析
t
y
s1
t max
s 2 s min
且偏向于sx 及sy大的一侧。
由:t
sx
s y
2
sin 2
t xy
cos 2
y
令 : dt
d
sx s y
cos 2 2t xy sin 2 0
O
极值切应力所在面 (法线与X轴夹角):
tg21s2xtsxy y
sy
s 2
主 单元体
sx
txy s1
x
ttmmainx
± （sx
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
sx B sx
tzx
txz
sx
sx
A
§13–2 二向应力状态分析——解析法
y
sy
sy
txy sx
等 价
sx
y
txy
x zΒιβλιοθήκη Oxsy一、任意斜截面上的应力
sx 已知：sx, sy 拉正压负；
y
切应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
s1
主应力排列规定：按代数值大小，
s1s 2s 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
点的无限小的几何体，常用的是正六面体。
y
sz
z
单元体的性质——a、各侧面上，应力均布；
sy
b、平行面上，应力相等,
txy sx
x
方向相反。 四、普遍状态下的应力表示
五、主单元体、主面、主应力：
sy
y
主单元体(Principal body)：
sx
各侧面上切应力均为零的单元体。
sz
z
s2
s3
主平面(Principal Plane)：
n 此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆)
t
圆心(s
x
s
2
y
,0);半径 （s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
sy
n 二、应力圆的画法
s
sx
t txy
y
Ox
t n D( s , t
x
建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）
在坐标系内画出点A(s x，txy)和 B(sy，tyx)
AB与s 轴的交点C便是圆心。
2
C
A(sx ,txy) s
以C为圆心，以AC为半径画
O
圆——应力圆；
B(sy ,tyx)
圆心(s
x
s
2
y
,0);半径 （s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
sy
n 三、单元体与应力圆的对应关系
s
sx
t txy
面上的应力(s ，t ) 应力圆上一点(s ，t )
y
面的法线 应力圆的半径
Ox
t n D( s , t
2
C
x
两面夹角 两半径夹角2 ；
A(sx ,txy) s
且转向一致。
O
B(sy ,tyx)
点面对应,转向相同,转角二倍
四、在应力圆上标出极值应力
t
t max
x
21
A(sx ,txy)
OC
s3 s2
20 s1 s
B(sy ,tyx)
t min
s s
1 3
OC
R半径
s
x
s
2
y
（s
x
s
2
y
）2 t
2 xy
txy
t xy 绕研究对象顺时针转为正；
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttxy
Ox 图2
规定：s 截面外法线同向为正； t 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。
n
设：斜截面面积为S，
t
Scos
S
Ssin
S Scos
Ssin
由分离体平衡得：
Fn 0
s Ss xScos2t xyScossin s ySsin2t yxSsincos0
tg 2 0
2t xy sx s y
s 3 t
0 45
t t
max min
（s x
2
s
y
）2
t
2 xy
t
tg21
sx s y 2t xy
0
破坏分析
1 0
低碳钢:s s 240MPa;t s 200MPa
灰口铸铁:s Lb 98~280MPa s yb 640~960MPa;t b 198~300MPa