１引言
在瞬态分析，工程地震学，计算声学等领域 （ 如无损检测，油气勘探等） ，如何利用数值计算的方法更
精确地得到弹性波动方程的解一直是国内 外研究者的工作重点。 着计算机技术的发展， 随 一些原来影响数值
计算方法应用的瓶颈一一被克服， 但对于大型的复杂二维问题或三维问题的研究， 仍然对原有的数值模拟方 法提出了挑战。 当前普遍使用的数值方法，如有限体积法 （ｉｔＶｌ ｅ ｔ ｄ，有限元 （ｉｔＥｅ ｅｔ ｈｄ， Ｆ ｉ ｏ ｍ Ｍｅ ｏ） ｎｅ ｕ ｈ Ｆ ｉ ｌ ｎＭｅ ｏ） ｎｅ ｍ ｔ
Ｃｅ ｈ 正 多 式 ｅ ｎｒ多 展开。３ 伽 金 法 解正 题的 分 式， 全 近 ｈ ｓ ｖ 交 项 或Ｌｇ ｄ 项式 ｂｅ ｅ ｅ （ 用 辽 方 求 交问 变 格 得到 局的 似 ）
解。 有关谱元法的详细数学表述请参看文献 ７ ０ 我们这里采用 Ｃｅｓｅ 正交多项式，它是如下奇异性 Ｓ ｒ－ｉ ｖｌ方程的特征函数 ｈｂｈｖ ｔｍＬｏ ｉ ｕ ｕｌ ｅ
似函数能最佳地逼近偏微分方程的精确解，测试函数 （ｅ Ｆｎｔｎ Ｔｓ ｕｃｏ）被引进用于验证近似解带来的余量是 ｔ ｉ 否达到最小。对基函数和测试函数的不同选择导致了上述这几种数值方法。
２ ｅｓｅ 谱元法 Ｃ ｂｈｖ ｈ
谱元法（ Ｅ ） 最早 Ｍ ， 在由Ｐｔａ ‘ 并 应用于流体动力学。 把有限 （ Ｓ Ｐ ａｒ提出２ 主要 ｅ ］ ， 它 元法和谱方法相结 合，
Ｃｅ ｓ ｖ ａ ｓｏ ｔ 配置点 权重 ｈ ｙ ｅＧｕ－ ｂ ｏ ｂ ｈ － ｓＬ ａ 及其 定义如 下，
（） ２
ｘｏ， ｉｓ 二务 Ｃ
ｗ二 ：—
ｒ 一 ， ， ７ ： 、 ‘ ． ， 一二 。
ｊ０Ｎ ｗ 二 ＝， ； ； －
１ 、入 １ ‘、 ； ＿
‘
（ ３ ，
（） ４
２ ‘ Ｎ 一 了 Ｎ 可以认为， ｈｂｈｖ Ｃ ｅｓ 多项式其实就是经过自 ｅ 变量变换以 后的余弦函数， 这个特性使得它在非周期性边界问 题
Ｓｉ ， ． ． ８３ ８ ９（９８． ｅｍ ＳｃＡ ， ６－ ２１９） ｓ ｏ ｍ ８， ３
［］林伟军，王秀明．张海澜，用于弹性波方程模拟的基于逐元技术的谱元法，自 ７ 然科学进展， Ｖｌ１， ． １４－０７ ０５． ｏ． Ｎ ９ ０８ １５ （ ０ ） ｏ ｏ ， ２
（ （＋ １２） －ｋ｝ ｘｘ Ｔ＼
义
Ｔｘ＝ ｋ ０ （ ／
（） １
ｈｂｈｖ多项式可以如下定 它 权 数 （一一 ） 将ｋ 归使 功） 这样ｋ阶 Ｃ ｅｓｅ 的 函 ｗ） ｘＩ 如 Ｔ １行 一 得 一 ｘ 仓 ２２ ／ 。 ＼进 ｘ １
Ｔｘ＝ｏ Ｂ 二ｒｏ ， ｋ ｃ ｋ， ｃ ｓ ｌ ｓ ａｃ ｘ ｌ Ｂ
［ ＡＴＰｔａＡ ｃａｅｍ ｎｍ ｔ ｄ ｆｉｄｎｍｃ ｌ ｉｒ ｉａ ｎｅｅｐｎｏ， Ｃｍ ｕ Ｐｙｃ ５， ４８１ ４ ２ ． ａｒ ｓ ｔｌ ｅ ｅ ｏ ｆ ｌ ｄ ａ ｉ： ｎ ｆｗ ｃａｎｌ ｓｎＪｆ ｐｔ ｈｓｓ ４４８ ８（ ８） ］ ． ， ｅ ｒ ｌ ｔ ｅ ｐ ｅ ｈ ｏ ｕ ｙ ｒ ｓ ａ ａｌ ｎ ｍ ｏ ｈ ｘａ ｉ ． ｏ ． ｉ， ６－ ９ ． ｏ
如下一个时域上的二阶线性常微分方程组，
Ｍ （ Ｋ （ Ｆ） Ｏ） ｔ （， ｔ Ｕ） ｔ ＋ 二 （ ７ ）
这 ，（ 低｝Ｕ） 是 应 初 条 。未 向 Ｕ 含 所 单 中 有ｈｓ 配 里 Ｕ） ， （ 低｝ 的 值 件而 知 量 包 了有 元 所 Ｃｂｅ 置 ０ 一 ０ 一 相 ｅｖ ｈ
谱 法（ ｅｒＭｔｄ和 差 法（ｎｅ ｅｎ Ｍ ｔｄ基 上都 看 是 权 法（ ｅｈｄ 方 Ｓ ｃａ ｅｏ） 有限 分 Ｆ ｉＤ ｆｅ ｅ ｈ ） 本 可以 成 加 余量 Ｗ ｉｔ ｐ ｔｌ ｈ ｉｔ ｉ ｒｃ ｅｏ ｆ ｇｅ Ｒｓｕｓ的 用ｗ 在 权 法中， 进了 组 展 ｅｄａ） 应 。 加 余量 ｉｌ 引 一 可 开的函 称为 试函 或 数 （ｉｆ ｃｏｏ 数（ 尝 数 形函 Ｔａ ｕ ｔｎ ｒｌ ｉ ｒ ｎ Ｓａ ｆ ｃ ｎ 作 基函 用于 偏 分 程的 作 展开。 保 有限 基函 截 展 定 近 ｈ ｅ ｔ ） 为 数 对 微 方 解 截断 ｐｕ ｉ ｎｏ 为了 证由 项 数 断 开 义的
［ ＧＳｒｎＤ ｕｌｇｄ ｂ ｅ ｓ ｃａｅｍ ｎ ｆ ａ ｕｉｗｖｍ ｄｌｇＷ ｖＭ ｔｎ３ ３１ ６（ ０） ５ ． ｉ ｂ －ｉＣｅｓ ｖ ｔｌ ｅｓ ｃ ｓ ａ ｏ ｉ ， ｅ ｉ ， ５－ ０ ０ ． ］ ｅａ ｏ ｅ ｒ ｈ ｈ ｐ ｒ ｌ ｔ ｏ ｏ ｔ ｅ ｅｎ ａ ｏｏ ９ ３ ２ ４ ｉ ｅ ｅ ｒ ｃ ， ［ Ｄ Ｋｍｔｃ， Ｊ． ｔ， ｓ ｃａｅｍｎｍｔ ｄａ ｅ ｃｎｔ ｌ ｍ ｌ ｔ ｓｓｉｒｐｎ ｏ２ ａ ３ ｇ ｌ ｉｌ ｔｅ Ｂｌ ６ ． ａｔｈａ ．Ｖｌ ｅＴｅ ｔｌ ｅ ｅｏ： ｆ ｉｔ ｔｓ ｕ ｔ ｈ ｅｍｃ ｏｓ ｆ ｎ Ｄ ｏ ｃ ｓｕｕ ｓ ｕ． ］ ｏ ｉ ｎ Ｐ ｉ ｓ ｄ ｏ ｈ ｐ ｒ ｌ ｔ ｅ ｅ ｈ ｎ ｅ ｏ ｏ ａ ｅ ｉ ｆ ｏ ｉ ｅ ｉ ｅ ｅ Ｄ ｓ ｄ ｅ ｇａ ｔｃｒ： ｏ ｒ ｌ
这里 ，
．、
Ｎ （（ Ｐ Ｐ Ｅｐ Ｔ， ＮＴ ０ － Ｐ ｐ Ｃ １ Ｃ Ｏ
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（） ５
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１
ｉ ， ￥ ０Ｎ
ｉ ， ＝０Ｎ
（） ６
要 文 ７ ９ 式 于 有的 试函 ｗ都 中 （） 对 所 测 数ｗ 满足， 初的 动 程 过 元 近 后 终 到 求 献 ｈ 最 波 方 经 谱 法 似以 最 得
［ Ｇ Ｓｉｉ ＥＰｏ， ｍｒ ｌ ｔ ｔ ｏＣｅ ｓｖ ｔｌ ｅ ｍｔｄ ｃ ｓ ｗｖｐｐ ａ ｎＰＣＯ １＇ Ｃ Ｗｒ ３ ． ｎ ． Ａ ｅ ａｉｅｉ ｉ ｆ ｙｅｓｃ ｅｍｎ ｅｏ ｆ ａ ｕｉ ａ ｒａｔ ， ． ３ＩＡ Ｓ ｌ ］ ｅ ， ｒｌ ｎ ｉ ｎ ｓ ａ ｎ ｈ ｈ ｐ ｒ ｌ ｔ ｏ ｏｔ ｅ ｇｉ Ｔ ｆ Ｍ ｒ ｉ ａ ｏ ｕ ｃ ｖ ｇｏ ｂ ｅａ ｅ ｈ ｒ ｃ ｏ ｏ Ｏ ａ ｏｄ
１ｊ ＜ ＜ 一， ＿ １
的 数值模拟上获得了广泛地应用。 而变换ｘ 存在使得文献 ７ （） ＝ ６的 ｓ Ｏ Ｃ 中 ９ 式的内 积在应用 Ｃｅｓｅ 多 ｈｂｈｖ
项 展 时 得 确 。 一 情 下 就 以 基 数 ｉ）义 。 Ｎ Ｃｂｅ 项 的 开 式 开 获 精 解 在 维 况 ， 可 把 函 （ 定 成 一 阶 ｈｓｖ 式 展 ， Ｐ 公 ｅｈ 多 ｝ ＝ Ｏ ｋ）
因此兼具了 有限元的处理边界和结构的灵活性和谱方法的快速收敛特性， 同时极大地减少了计算时间和内存
需 Ｇ ｅａ 等 将 法引 波 程数 模 〔 其他 者随 做了 量的 研究「０ 求。 ．ｒｎ 首次 谱元 入到 动方 值 拟中３ Ｓｉｉ ］ ， 研究 后 大 相关 ４ － ６ ］
谱元法的基本思想是在每一个单元上使用谱方法。 同时选取以截断的正交多项式表示的基函数， 在各个 单元上通过利用配置点插值，以提高级数表示的解的收敛速度。其主要步骤是：（ 这种方法首先把计算的 １ ） 区域分成许多子域 （ 单元） ，每个子域由 若干节点 （ 配置点）组成。２在每个子域中把近似解表示成截断的 ）
点上的离散解ｕ． 是全局质量矩阵，Ｋ是全局刚度矩阵， Ｍ 而Ｆ是力向量。 那些单元共享节点的贡献 来自 在全局矩阵中被相加以 满足单元边界上的连续性要求。 在等参变换的帮助下， 所有的单元矩阵计算可以统一
在参考单元中实施。
３结论
由于结合了谱方法的高精度和有限元法的高适应性， 谱元法为波动方程的数值模拟提供了一种新的有效 工具。本文从弹性动力学方程的弱形式出发，阐述了Ｃ ｅｓ ｖ ｈｂｈ 谱元法基本理论及相应数学公式。 ｅ
参考文献：
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Ｃ ｎｒ ｓ ｏ ｐｔｉ ａｄ ｌｄ ｔ ｍ ｔｓＤ ｂｎＩ ｌ ｄ１ １ ｏｇ ｓｏ Ｃ ｍ ｕ ｔｎ Ａ ｐｅ Ｍ ｈ ａｃ ｕｌ， ｎ（ ９） ｅ ｎ ａｏ ｎ ｐ ｉ ａ ｅ ｉ， ｉ ｒａ ９ ． ｅ
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用于波动方程模拟的Ｃ ｅｓｅ 谱元法 ｈｂｈｖ
林伟军 ’ ｅａ ｉ ｉ ，Ｇ ｚ Ｓｒｎ ｅａ ｚ
ｃ 中国科学院声学研究所，北京，１００ １ ． ０８ ２ Ｉｓｉｕｏ ｚｎａｅ Ｏｅｎｒｆａ ｄ Ｇｏ ｉｉａ ｅｉｅｔｌ， ａｙ ．ｎｔｔｔ Ｎ ｏｎｌ ｄ ｃａｇａ ｉ ｅ ｅｆｓｃ Ｓ ｒｍｎａｅ Ｉ ｌ） ａ ｉ ｉ ｐ ｔ