第19卷　第3期应用力学学报Vol.19　No.3 2002年9月CHINESE JOURNAL OF APPL IE D MECHANICS Sep.2002文章编号:100024939(2002)0320050204结构拓扑优化设计的三角网格进化法Ξ罗　鹰　段宝岩(西安电子科技大学　西安　710072)摘要:针对进化式拓扑优化方法的不足,提出了一种基于遗传算法的新型进化式拓扑优化方法—三角网格进化法,该方法不仅能够同时进行拓扑、形状与截面变量优化设计,而且在优化过程中实现了退化和进化的统一,提高了优化效率。

另外本文还首次对结构类型变量进行了优化计算,取得了有益的结果。

最后几个数值算例证明了本方法的可行性和有效性。

关键词:拓扑优化;进化法;类型优化;遗传算法中图分类号:039TB121 文献标识码:　A1　引　言工程结构拓扑优化方法可分为两类:退化法和进化法。

退化法又可进一步分为基结构方法(ground structural approach)[1]和均匀化方法(ho2 mogenization method)[2],退化法的基本思想是在优化前将结构所有可能杆单元(对基结构方法而言)或所有材料(对均匀化方法而言)都加上,然后构造适当的优化模型,通过一定的优化方法逐步删减那些不必要的结构元素(杆单元及节点)或材料,直至最终得到一个最优化的拓扑结构形式。

当然,在删减的同时也可能伴随着少量结构元素的再加入。

进化法[3～6]正好与退化法相反,它是从另一个途径考虑问题。

根据给定的固定节点与载荷,首先给出简单拓扑结构形式,然后通过一定的优化策略不断增加结构元素,直到获得最优的拓扑结构。

K irsch[5,6]曾对此类方法进行过分析与展望,并且由William在1995年提出了自然生长方法[3],Mc Keown在1998年又提出了节点增加方法[4]。

它们的不足之处在于,优化过程中,只有结构元素(包括杆单元和节点)的增加而不能够删减。

另外,根据目前所掌握的文献看,结构类型变量优化还未被问津。

本文利用遗传算法(G A)将结构类型也作为一类设计变量,对它进行了数学优化计算的尝试。

2　优化模型本文讨论的是结构的整体优化问题,设计目标是使结构整体重量最轻(或体积最小),而约束条件包括应力约束以及各节点坐标位移约束。

设计变量包括结构类型、拓扑、可动节点坐标以及单元截面积四种参数。

由于遗传算法(G A)[5,7,8,9]不能直接处理结构优化中各设计变量,而必须将它们转换成遗传空间中由基因个体排列组成的染色体或个体。

为此,引入以下几组参数:211　结构类型参数αi杆系结构的类型不仅有桁架、刚架(梁)结构,还有杆、梁组合结构(即结构中既有杆单元又有梁单元)。

为此引入参数αi(i=1,2,…,N)分别代表结构中各单元的类型。

其中,N表示结构单元数。

其数学表达式为:αi=0　单元i为杆单元1　单元i为梁单元　(i=1,2,…,N)(1)结构的总刚度方程为:Ξ基金项目:国家自然科学基金项目(95635150)　来稿日期:2001202220　修回日期:2002202227第一作者简介:罗鹰,男,1970年生,西安电子科技大学机电工程学院博士生;研究方向:面向工程的广义优化1K Z D=P(2)其中,结构总刚度矩阵K Z是载荷矩阵P与节点位移矩阵D之间的关系矩阵,由各单元刚度矩阵K i D组合而成。

通过引入类型参数αi,各单元刚度矩阵K i D 转化为参数αi的函数:K i D=f(αi)=αi K D2+(1-αi)K D1(3)其中,K D1表示杆单元的刚度矩阵,K D2表示梁单元的刚度矩阵。

212　结构拓扑参数βi从力学意义上说,寻求一个最佳的拓扑结构形式相当于寻求一条最佳的传力路线,即寻求将结构所受载荷传递到结构支撑点的最佳路线。

引入拓扑参数来表示结构中各单元的拓扑关系:βi =1　单元i存在时0　单元i不存在时　(i=1,2,…,N)(4)由于G A是一种随机搜索方法,因此利用G A进行拓扑优化时会遇到一个问题:有时其随机产生的结构是不完整的,无法利用有限元方法进行分析计算。

因此,在实践中可以采用所谓“薄盘”方法,即假定整个设计空间为一个厚度极小的薄盘,而随机产生的单元被放入薄盘中,从而保证了结构的完整性。

此时,拓扑参数βi变为:βi =1　单元i的截面积为A i0　单元i的截面积为α(α=10-20-10-30　i=1,2,…,N)(5)此时,结构拓扑变量转化为参数βi和各单元截面积A i的函数:T i=G(βi,A i)=B i A i+(1-βi)α(6)其中,T i表示单元i拓扑形式,A i表示单元i的截面积。

213　形状参数εj和截面参数λi结构优化设计中,类型、拓扑变量与形状、截面变量之间有时存在量纲与量级的巨大差异,这容易导致问题病态。

为此,特引入两组[0,1]之间的连续变量εj、λi:λi =A i-A L iA U i-A L i　(i=1,2,…,N)εi =P j-P L jP U j-P L j　(j=1,2,…,M)(7)其中,P j表示结构中可动节点j的坐标值(X、Y或Z);P U j和P L j分别为P j的上、下限;A U i和A L i分别为单元i截面积A i的上、下限;N为结构的单元总数;M为结构可动节点总数。

需要说明,由于文中遗传算法对结构类型和结构拓扑参数采用了二进制编码处理,因此保证了在计算过程中参数αi和βi只能取得0或1两种值。

3　算法描述首先可以把结构中的各节点分为固定节点与辅助节点两类,其中固定节点表示设计初始条件中给定的结构承载点、支撑点以及一些特别规定的节点。

一般而言,固定节点的位置和数目都是固定不变的。

而辅助节点则表示那些为使结构受力分布更为合理而增加的节点,这类节点的位置和数目都是可变的。

本文所述三角网格进化法的优化过程主要分为两个阶段:第一阶段主要是利用设计初始条件,生成能够将结构荷载传递到支撑节点的最简单,且比较合理的基础拓扑结构,从而为进化过程提供最佳的“生长平台”。

这是进化式优化方法能够最终得到较好结果的基础。

但是目前的方法对此往往随意性比较大,本文方法是利用杆单元将各固定节点单向相连,构成一个闭环结构;然后在该闭环区域内添加一个辅助节点,并将该节点与其它固定节点分别相连。

然后在考虑结构约束的条件下对形成的结构进行拓扑优化(包括对辅助节点的位置以及各单元截面积的优化),删除一些不必要的元素,确保所得基础结构尽可能简单,而且受力分布又比较合理,为以后的进化打下良好的基础。

第二阶段主要是在基础拓扑结构的基础上,通过进化策略使结构复杂化同时使结构更为优化合理。

由于桁架结构通常都是由大量三角网格相互拼合而成,而且三角形是最简单的稳定结构。

据此,本文将基础结构中各单元的长度中点作为新增辅助节点,并且将这些新增辅助节点按照特定方式相连,在每个三角网格内自动增加一个相似的小三角网格,达到向原结构添加新的结构元素的目的,使结构拓扑复杂化,然后对结构进行整体优化处理,删除多余的结构单元和节点,确保优化目标的全局性。

接下来的步骤就是不断重复第二阶段的工作直至收敛(即相临两次迭代所得结构拓扑不再改变)。

当然,在满足设计条件的前提下,当结构复杂度达到一定限度时,进化过程也可以随时中断。

另外为保证算法的连续性,两个阶段的优化目标与收敛条件应该是完全相同的。

15第3期 罗　鹰,等:结构拓扑优化设计的三角网格进化法4　数值算例411　电线塔结构图1　电线塔结构初始设计条件图图1所示为一典型电线塔结构的初始设计条件示意图,它承受两个大小相同的载荷P ,且具有两个支撑点,各固定节点位置如图所示。

其中长度L 等于103in ,载荷P 等于105lb ;材料的密度和弹性模量分别为011lb/in 3和107psi ;其约束条件包括各节点在垂直方向的位移不得超过110in ,和各单元承受应力不得超过25000psi。

图2　自然生长方法[3]的拓扑优化过程按照William 提出的自然生长方法[3]进行优化的拓扑变化过程需要经过六个步骤得到最终优化解(如图2所示)。

按照本文提出的三角网格进化法进行优化设计,其拓扑变化过程如图3所示。

其中(a )与(b )表示本方法的第一阶段优化,即生成基础结图3　电线塔结构的优化示意图构的阶段。

虽然(a )与(b )在结构拓扑上并没有发生变化,但是由于(b )为(a )的优化结果,因此一方面辅助节点纵坐标发生了改变;另一方面各单元的截面积也完全不同。

(c )与(d )表示优化的第二阶段,首先通过三角网格增加,达到在基础结构上增加节点和单元的目的,所得结构拓扑即为(c );然后在满足约束条件下对结构(c )进行整体优化,其优化变量包括拓扑、辅助节点坐标以及单元截面积,得到了优化结果(d )。

表1对在相同条件下两种方法所得优化结果进行了比较。

从表1可见,利用本文所述方法所得结果无论在结构复杂程度还是结构重量方面都优于自然生长方法的结果。

表1　两种进化法优化结果比较优化方法自然生长法[3]本文方法结构复杂程度28单元,16节点22单元,12节点结构重量(lbs )176897396最大位移(in )0.99860.9930单元最大应力(psi )50888086412　平面十杆结构通过对十杆结构类型优化,尝试了对结构类型变量的数学优化。

结构形状如图4所示,其中长度单位为in ,材料的密度和弹性模量分别为0.1lb/in 3和107psi ,外加载荷P =105lb ,M =105lb f ・in 。

约束条件包括各节点沿垂直方向的位移小于2.0in ;各单元实际应力不得超过25kpsi ,另外对承受压力的单元还需要满足压杆稳当条件。

图4　十杆结构示意图 图5　纯桁架优化结果图6　纯刚架优化结果 图7　组合结构优化结果图5、图6和图7分别为不同类型结构的优化拓扑结果,图5是纯桁架优化结果,图6是纯刚架优化结果,图7是组合结构优化结果。

其中图7中的细实线代表杆单元,粗实线代表梁单元。

各类型结构的具体优化结果如表2所示,从表中可见,三种类型结构的重量分别为4968lb 、3142lb 与3105lb ,因此组合结构的重量是最轻的。

同时它们的最大位移都已经接近上限2.0in 。

而各单元的最大应力由于压杆稳定的约束都没有达到上限。

从优化结果来看,结构类型优化应该是可行的也是必要的。

25应用力学学报第19卷表2　三种类型优化结果比较纯桁架纯刚架组合结构A16.79.110.9A2000A340.719.919.9A440.719.919.9A540.719.919.9A6000A7000A800.240.28A96.612.510.7A10000重量(lbs)496831423105最大应力(psi)215901*********最大位移(in)1.981.991.995结束语本文提出了一种新的进化式拓扑优化方法—三角网格进化法。