(3)
⎣i
⎦
式中，wi 为第 i 个目标函数的权系数，fi (b) 为第 i 个
目标函数， b 为设计变量， zi 为所选目标函数参考
值， p 为惩罚因子。
综上所述，柔顺机构拓扑优化设计采用基础结
构法，以平面框架单元的宽度为设计变量，以应变
能最小化和互应变能最大化为目标。由于不同性质
的结构响应量具有量级上的差异，会使某个目标函
Reliability-based Topology Optimization of Compliant Mechanisms by Using Foundation Structure Approach
ZHAN Jinqing ZHANG Xianmin
(School of Mechanical and Automotive Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640)
Abstract：In order to avoid the degradation of mechanism performance caused by uncertainties in the process of manufacture and use, a new reliability-based topology optimization method for compliant mechanisms using the foundation structure approach is presented. Frame elements are chosen to represent the design domain because they are capable of capturing the bending modes. The applied load and the structural geometry size are considered as random variables, and the failure model of the mechanism is regarded as the series system of strain energy and mutual potential energy. The first-order reliability method is adopted to calculate the failure probability of the series system. The dual mathematical model of reliability-based topology optimization for compliant mechanisms is established, the dual algorithm is used for the optimization problem. The numerical example is simulated to show that the proposed method is correct and effective because it helps to obtain mechanisms with higher reliability than those obtained by the deterministic topology optimization. Key words：Compliant mechanisms Topology optimization Reliability Foundation structure approach
当驱动载荷给定后，系统的应变能越小表示系统的
刚度越大。如图 3 所示，驱动载荷和边界条件给定
后，应变能可以表示为
∫ ESE = σ Tε dΩ = d Tkd
(2)
Ω
式中， σ 为载荷 Fin 作用引起的应力场矢量。
图 1 两种基础结构类型
图 3 机构刚度评价
柔顺机构拓扑优化是一个多目标优化问题，它 就是要在柔度和刚度两个相互矛盾目标函数之间找 到一个最优的妥协解。多目标优化产生一系列有效
数在优化中占主导地位，掩盖小数量级目标函数在
优化中的作用，所以多目标优化建模时需要经过归
一化处理。设初始机构应变能为 ESE0 ，初始机构互 应能为 EMSE0 ，柔顺机构多目标拓扑优化的数学模 型可以表示为
min f (b) = w(ESE / ESE0 ) − (1 − w)(EMSE / EMSE0 ) s.t. kd = F
1.1 基础结构法 基础结构法的基本思想是：在设计域内构造
杆、梁或框架单元的完备集合，以这些单元的截面 面积或描述截面形状的某些参数为设计变量，在设 计过程中，通过去除单元完备集中的某些单元而达 到拓扑优化的目的[10]。由于框架单元能包含弯曲模 式，因此采用它的集合来表示设计域。基础结构有 两种形式，如图 1 所示[11]，一种是全互联基础结构， 另一种是简化基础结构。基于全互联基础结构的拓 扑优化结果可能含有重叠单元，这样造成很难制造 加工[12]。本文采用简化的基础结构进行柔顺机构拓 扑优化。框架单元截面形状为矩形，以平面框架单 元的宽度为设计变量。
对于柔顺机构可靠性优化设计问题，本文提出 一种新的基于基础结构法的柔顺机构可靠性拓扑优 化方法。考虑作用载荷和结构几何尺寸的随机性， 建立柔顺机构可靠性拓扑优化设计对偶数学模型。 采用一次可靠度方法来计算应变能和互应变能双模 式串联系统的失效概率。最后，数值算例表明本文 提出的方法是正确和有效的。
1 确定性柔顺机构多目标优化模型
月 2010 年 7 月
占金青等：基于基础结构法的柔顺机构可靠性拓扑优化
43
大化为目标的可靠性拓扑模型。崔明涛等[7]对柔顺 机构进行可靠性拓扑优化设计。MAUTE 等[8]对微 机电系统进行可靠性拓扑优化设计。总体来说，仅 有少量研究涉及到柔顺机构可靠性拓扑优化设计问 题。而且在当前的柔顺机构可靠性的拓扑优化方法 中，通常采用变密度法，但这种方法的计算效率和 通用性不理想，存在棋盘格和中间单元等数值不稳 定性现象[9]。
G1(Z ) = h1(U ) = ESE, U − SE(U )
(6)
G2 (Z ) = h2 (U ) = EMSE (U ) − EMSE, L
(7)
式中，Z 为作用载荷和机构几何尺寸组成的随机矢
量， U 为 Z 的当量正态随机矢量，下标 U 和 L 分
别表示变量的上限和下限。
当柔顺机构的应变能高于指定上限或互应变
* 国家杰出青年科学基金(50825504)、国家自然科学基金(50775073)和 NSFC- 广 东 联 合 基 金(U0934004) 资 助 项 目 。20100331 收 到 初 稿 ， 20100426 收到修改稿
置，无须从一个已知的刚性机构出发，且所得机构 具有优化的力－位移输入输出关系，因而引起了人 们的重视[2]。
44
机械工程学报
第 46 卷第 13 期期
解，即帕累托解[14-15]。对一个特定问题求解帕累托
解的方法很多，大部分方法是将多目标优化问题转
变为单目标优化问题进行求解。标准化方法经常用
于结构的拓扑优化中。在这种方法中，距离函数定
义为[15]
∑ ( ) d
=
⎡ ⎢
wi
fi (b) − zi
p ⎤1 p ⎥
First-order reliability method
0 前言*
柔顺机构是通过其部分或全部具有柔性构件 的弹性变形来传递力和运动的，具有结构简单、容 易制造、无摩擦磨损、容易装配、高精度及高可靠 性、轻质量及实现微型化等优点。它已经在 MEMS 器件设计、生物工程显微操作、光纤对接和航空航 天等领域得到广泛应用[1]。采用拓扑优化设计方法 设计柔顺机构，只须给定设计域和指定输入输出位
V ≤V∗
blow ≤ bi ≤ bupp i = 1, 2, , N
(4)
式中，V 表示设计域的材料总体积，V ∗ 表示允许最
大的材料体积，bi 表示为设计变量，blow 和 bupp 分别 表示为设计变量的上、下限， N 为设计域中的单元
总数。
当得到一系列的帕累托解后，很难确定取哪个
值时所得是最优妥协解。为此，提出一种判别方法，
目前，柔顺机构拓扑优化主要是对柔顺机构进 行确定性拓扑优化设计。在实际工程结构中，由于 制造及各种环境因素的影响，其作用载荷和结构几 何尺寸等参数不可避免地呈现出不确定性，用确定 性的机构拓扑优化设计得出的机构安全余量变小， 所得机构不能满足期望的性能要求[3]。因此，为了 减少这些不确定性因素而导致的机构性能下降现 象，必须对柔顺机构进行可靠性拓扑优化设计。 JUNG 等[4-5]将可靠性分析结合拓扑优化方法用于 结构优化中。KHARMANDA 等[6]提出了以刚度最
第 46 卷第 13 期 2010 年 7 月
机械工程学报
JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING
Vol.46 No.13
Jul.
2010
DOI：10.3901/JME.2010.13.042
基于基础结构法的柔顺机构可靠性拓扑优化*
占金青 张宪民
(华南理工大学机械与汽车工程学院 广州 510640)
图 2 机构柔度评价
系统的运动需求即系统柔度可采用互应变能
进行表征[13]。系统互应变能越大，输出点的位移越
大因而系统柔度越大。如图 2 所示，假设在输出点
O 处沿着输出位移 dout 方向作用一个虚拟的单位载
荷 Fout ，则应变能
∫ EMSE = dout = σ 0T ε dΩ = d 0T kd
1.2 柔顺机构多目标拓扑优化模型
柔顺机构的设计需要具有足够柔性以满足运 动要求，同时还需要具有足够刚性，使其能够承受 足ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的载荷[13]。由此可见，这是一个多目标优化问 题。如图 2 所示，Ω 为给定的设计域，Γ 为边界条 件，I 为驱动输入点，在输入点处的输入载荷为 Fin ； 机构的位移输出点为 O ，在输出点处希望的输出位 移为 dout ， kout 是输出端的刚度。