柯西不等式的几何意义和推广
3.柯西不等式的几何意义
柯西不等式的代数形式十分简单，但却非常重要。
数学当中没有巧遇，凡是 重要的结果都应该有一个解释，一旦掌握了它，就使这个结果变得不言而喻了。
而一个代数结果最简单的解释，通常驻要借助于几何背景。
现在就对柯西不等式 的二维、三维情况做出几何解释。
(1)二维形式
(a ? b 2) (c 2 d 2
)_ (a c b)d
如图，可知线段OP ，OQ 及PQ 的长度分别由下面的式子给出：
OP = J a 2
+b 2
, OQ = J c 2
+d 2
, PQ = J (a _c)2
+(b_d)2
r 表示OP 与OQ 的夹角。
由余弦定理，我们有
2
2
2
c
PQ =OP +OQ -2 OP OQ cos 9
于是
(a 2 b 2) (c 2 d 2
)- (a c b)d
这就是柯西不等式的二维形式。
我们可以看到当且仅当cos 2d=1，即当且仅当d
是零或平角，亦即当且仅当
将 OP ，OQ
PQ 的值代入，化简得到cos -二
ac +bd a 2
b 2
、c 2
d 2
故有cos 2
-=
(ac bd)2
(a 2 b 2)(c 2 d 2)
<1
图3-1
O,P,Q 在同一条直线上是时等号成立。
在这种情形，斜率之间必定存在一个等 式；换句话
说，除非c=d =0，我们们总有-=b
.
c d
(2)三维形式
(云 + a ； + af ( $牛
b 2>( a 1 b
-2
+b 2 ) a 3 Q
对于三维情形，设P(a 1,a 2,a 3),Q(b i ，b 2,b 3)是不同于原点0(0,0,0)的两个点， 则OP 与OQ 之间的夹角二的余弦有
— a dbi+ a ； b ； a 3 b 3
cos —
J a ； + a ；+ af JT ；b ^ b 3"
又由cos ；二乞1，得到柯西不等式的三维形式：
(c !2
+ a ； + a)；
( b l 2
+
b+ b ； 3( ah a/^b ； ) a ? b ?
当且仅当O,P,Q 三点共线时，等号成立；此时只要这里的^,b 2,b 3都不是零， 就有虫=鱼二也
b i b ；
b 3
4.柯西不等式的推广
前面的柯西不等式都是限制在实数范围内的，在复数范围内同样也有柯西 不等式成立。
定理：若a = (aa,…a.)和b = (b|,b ；,…,0)是两个复数序列，则有
当且仅当数列a 和b 成比例时等式成立。
证明：设'是复数，有恒等式
n
_
_
门22门2 — 门
=W （-
k -也）（-k -九b
k ）=送 a
k 十卩」送 b
k —2Re （匹 a k b
k ）
k =1
kd
k T
k d
由此推出了复数形式的柯西不等式。
n
_2 为
k =1
n
'、-k b k 若，=— n
无 b k l 2
k d
、-k b.
k=1
n
2 "b k k =1
(其中20)，则有
n
=》a
k
kd
除此之外，我们还可以知道一些与柯西不等式相关的结论。
定理1 :若a ，…,a.）和b二⑴，…,0）是实数列，且0 _ x _1，则
n n n
（\ a k b k X、qb j）2 _C a k2x' 叭）（、b k2x' bb j）
k4 i =j kJ i ：：：j k 4 i :：:j
当x =0时，这个不等式即为柯西不等式。
定理2 :若a=（ai,「,・a）和b = 4，…,0）是正数序列，且 1兰zEyE2或
n n n n n n n
（'• a："，b2）_（v alb2」" a^bj）a：b严）L a严b：）a^）2 k =1 k =1 k =1k =4 k4 k 4 k =1
这个不等式实际上是Holder不等式的推论。
我们知道，当数列站」和fbn?取任意项时，柯西不等式均成立。
对于所考察
的数列春和和具有偶数项时，我们就可以加细柯西不等式。
定理：若a =（a,a2,…,a?.）且b =（^4,…,b?.）是实数列，则
2n 2n 2n n
c a k b kV< "( a「)( b k' ) 2【a_k(b k_2 a1k 2“)]
k=1 k： 1 =k 1 = k 1
对于柯西不等式，除了这种数列形式之外，还存在积分形式的柯西不等式。
定理：设f和g是在［a,b］上的实可积函数，则
b 2 b
(2 f (x J d x)( g (x ) d x)
(a f (x )g (x )d x)a
当且仅当f和g是线性相关函数时等式成立。
b 2
证明：对任意实数t,有.(tf (x) g(x)) dx_0
a
b b b
即t2( f d x2 t ( f) x( g) x d2x G )g x 0d x
'a L a "a
M =(2j b f(x)g(x)dx)2—4(f f(x)2dx) (fg(x)2dx)兰0
a a a
r b 2 b 2 b -
即(a f (x )g (x )d x)a ( f (x )a d x) ( g (x ) d x)
这个不等式也称为Schwarz不等式。
除了在积分上柯西不等式有这种应用之外，在概率中也有类似的柯西不等式形式。
定理：对任意随机变量E和H都有E幼『兰E©2.E H2.等式成立当且仅当
=t° ,1.这里t o是一个常数。
证明：对任意实数t，定义u(t)二E(「-)2二t2E 2 -2tE E 2；
显然对一切t，u(t)_0，因此二次方程u(t)=0或者没有实数根或者有一个重根，所以，(E • )2 -E，2 E 2乞0.
此外，方程u(t)=0有一个重根to存在的充要条件是(E，)2-E'J E2=0. 这时
E(t。
•-)2=0.因此，P{t。
- =0}=1.
有了这个结论，对于解决一些复杂的概率题时会有所帮助。
5.结论
总之，柯西不等式作为数学不等式中一个基础而且重要的不等式，对解题时
起了举足轻重的作用。
它将两数列中各项积的和与和的积巧妙得结合在一起，使许多问题得到了简化。
对它的探究为我们今后能够更好得学习数学有着很大的意义。