3）工程上要便于实现，成本低。
辨识中常用的输入信号有白噪声或伪随机信号
4
2.1 谱密度与相关函数
1．帕塞瓦尔（Parseval）定理与功率谱
Parseval定理：确定性信号x(t)的总能量为：



x ( t ) dt
2
1 2



|| X ( j ) ||
2
d
5
2．维纳—辛钦关系式：
物理上是不存在的，常见的往往是有色噪声。
有色噪声的表示定理：设平稳噪声序列{e(k)}的谱密度
S e ( ) 是ω的实函数，则必定存在一个渐近稳定的线性环节
，使得在输入为白噪声序列的情况下，环节的输出是谱密度 S e ( ) 的平稳噪声序列{e(k)}。 为
白噪声 线性环节 (成形滤波器) {w(k)} H(z-1 ) 有色噪声
R w ( ) ( ) ，其中，
2
( )
为Dirac函数，即

( )
( )
∞，τ=0 0，τ≠0
2
且

( ) d 1
的傅立叶变换为1，
，频谱宽度无限。
8
S w ( )
2. 有色噪声
有色噪声是指每一时刻的噪声和另一时刻的噪声相关， 因而其谱密度也不再是常数。在工业生产实际中，白噪声在
plot(k,v,k,v,'r');
12
13
Li1.m A=19;N=200;x0=37;f=2;M=512; for k=1:N x2=A*x0 x1=mod(x2,M) v1=x1/512 v(:,k)=(v1-0.5)*f x0=x1 v0=v1 end v2=v k1=k k=1:200; plot(k,v)
24
-1
1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
1
-1
-1
1 1
-1
1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
1
-1
-1
1
1
25
四位移位寄存器产生的序列周期不可能超过16，全 零初态导致全零序列 四位移位寄存器产生的序列最大周期只能是15 如果一个移位寄存器的输出序列周期达到最大，这 个序列称为最大长度二位式序列或M序列。 如果输出序列的周期比最大周期小，就不是M序列。 N级移位寄存器产生的序列的最大周期为N＝2n－1
N
当N很大时，白噪声或M序列可近似满足这一要 求；当N不大时，并非对所有的N都能找到这种
输入信号。
3
在具体工程应用中，选择输入信号时还应考虑 以下因素：
1）输入信号的功率和幅度不宜过大，以免使 系统工作在非线性区，但也不应过小，以致信 噪比太小，直接影响辨识精度；
2）输入信号对系统的“净扰动”要小，即应 使正负向扰动机会几乎均等；
18
移位寄存器：
移位寄存器由触发器串联而成，分别以0，1表示两种状态。 当移位脉冲来到时，每位的内容（0或1）移到下一位，最 后一位的内容就是输出。
为保持连续工作，将最后2级寄存器模2加后反馈到第1级的 输入端(M序列)。
19
一个四级移位寄存器
若初始状态为（0000），则输出为全零序列 若初始状态为（1111），则寄存器内容： 1111 0111 0011 0001 1000 0100 0010 1001 1100 0110 1011 0101 1010 1101 1110 1111 输出序列为：111100010011010 1111… 周期为15
26
2．M序列的性质
1) n级移位寄存器产生的序列的最大周期为N＝2n－1 2) M序列的一个周期中，“0”出现的次数为（N-1）/2 “1”出现的次数为（N+1）/2，当N较大时，0，1出现的 概率几乎是相等的。1/2. 3) M序列中某种状态连续出现的段称为游程。一个周期中有
2n-1个游程，游程长度为1~n，但出现的概率是随机的。其中 0的游程和1的游程各占一半
可以证明序列{i}为伪随机数序列，循环周期可达2k-2
11
A=6; x0=1; M=255; f=2; N=100; %初始化； x0=1; M=255; for k=1: N %乘同余法递推100次； x2=A*x0; %分别用x2和x0表示xi+1和xi-1； x1=mod (x2,M); %取x2存储器的数除以M的余数放x1（xi）中； v1=x1/256; %将x1存储器中的数除以256得到小于1的随机数放v1中； v(:,k)=(v1-0.5 )*f; %将v1中的数（ ）减去0.5再乘以存储器f中的系数，存 放在矩阵存储器v的第k列中，v(:,k)表示行不变、列随递推循环次数变化； x0=x1; % xi-1= xi； v0=v1; end %递推100次结束； v2=v %该语句后无‘；’，实现矩阵存储器v中随机数放在v2中， 且可直接显示在MATLAB的window中； k1=k; %grapher %以下是绘图程序； k=1:k1;
14
(0,1)均匀分布随机数的产生仿真举例 利用乘同余法，37选R＝2，A＝19，k=9,M=512,递推100次 调用random.m
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
v
0
10
20
30
40
50 k
60
70
80
90
100
15
16
产生（－1，1）均匀分布的白噪声
20
30
40
50 k
60
70
80
90
100
17
2.3
伪随机序列
1. M序列的产生
伪随机序列是一种很好的辨识输入信号，它具有近似 白噪声的性质，不仅可以保证较好的辨识效果，而且工程 上又易于实现。 应用领域：通信、雷达、导航、密码学、声学、数字跟踪 系统、网络系统故障诊断等
M序列，二位式最大长度线性反馈移位寄存器序列，是伪 随机二位式序列最简单的一种，由带有线性反馈逻辑电路 的移位寄存器产生。
长度为1的游程有2n-2个，长度为2的游程有2n-3个，长度为3
的游程有2n-4个，以此类推，最后，长度为n的游程有1个。 27
4)移位可加性：
2个彼此移位等价的相异M序列，按位模2加后得到的和序列仍为 M序列 一个4级M序列 延迟7bit的序列 1111000100110101111… 0011010111100010011…
10
（0，1）均匀分布的随机数的产生
在计算机上产生（0，1）均匀随机数的方法很多， 其中最简单、最方便的是数学方法。
乘同余法
先用递推同余式产生正整数序列{xi}
x i Ax i 1 (mod M )
Mod为取M的余数，M为2的方幂，即M＝2k，k为大于2的 整数，A取适中值，如3<A<10，初值x0取正奇数，如x0 ＝1。 下一个随机数是上一个随机数乘以A对M取余而得到的, xi 再令 i M
N 1 at 2 Nt N 1 at 2 Nt a N
自相关函数 R x ( ) （1） ＝0
第二章 系统辨识常用输入信号 及经典辨识方法
主讲人：王树彬
1
合理选用辨识的输入信号是能否获得好的辨识结 果的关键之一。
为了使系统可辨识，输入信号必须满足一定的条 件。最低要求是在辨识时间内系统的动态必须被输入 信号持续激励。也就是说，在试验期间输入信号必须 充分激励系统的所有模态。
更进一步，输入信号的选择应能使给定问题的辨 识模型精度最高。
随机过程x(t)的谱密度 S x ( ) 与自相关函数 构成一组傅立叶变换对：
S x ( ) R x ( )
R x ( )
j



R x ( ) e
d
j
1 2



S x ( ) e
d
定义互谱密度为互相关函数的傅立叶变换：
S xy ( j ) R xy ( )
21
22
X1=1;X2=0;X3=1;X4=0; %移位寄存器输入Xi初T态（0101）， Yi为移位 寄存器各级输出 m=60; %置M序列总长度 for i=1:m %1# Y4=X4; Y3=X3; Y2=X2; Y1=X1; X4=Y3; X3=Y2; X2=Y1; X1=xor(Y3,Y4); %异或运算 if Y4==0 U(i)=-1; else U(i)=Y4; end end M=U %绘图 i1=i k=1:1:i1; stem(k,U,'filled') xlabel('k') 23 ylabel('M序列') title('移位寄存器产生的M序列')
输出谱密度关系告诉我们：要充分激励系统，就要 使输入信号的频谱“宽”于系统频谱。
7
2.2
白噪声
1. 白噪声 均值为0，谱密度为非0常数的平稳随机过程
无记忆性，即t时刻的数值与t时刻以前的过去值无关，也
不影响t时刻以后的将来值。从另一意义上说， 即不同时刻的随机信号互不相关。
定义：1. E(w) w 0 2.
{e(k)}
9
3. 白噪声的产生及其MATLAB仿真
如何在计算机上产生统计上比较理想的各