|z|=1
|z|>1
S域虚轴映射到Z域单位圆上
S域右半平面映射到Z域单位圆外
因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统
双线性变换法
双线性变换法的基本原理
双线性变换法的优缺点 优点：无混叠 缺点：频率转换非线性（幅度响应不是常数时 会产生幅度失真）
双线性变换法
双线性变换法设计DF的步骤
(1) 将数字带阻滤取T=2，利用 = tan( ) 得模拟带阻指标为 T 2
p1=6rad, p2=13rad, s1=9rad, s2=11rad,p1dB, s 10dB
例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器
p1=2.8113rad/s, p2=2.9880rad/s, p1dB , s1=2.9203rad/s, s2=2.9603rad/s, s 10dB
p,s
p , s
Ga ( p)
复 频 率 变 换
注意： 脉冲响应不 变法不能设计高 H(z) 通和带阻数字滤 波器
1 1 s si 1 e siT z 1
脉冲响应不变法 双线性变换法 2 1 z 1 s= T 1 z 1
双线性变换法
H(s)
非低通IIR数字滤波器的设计
Fs：抽样频率
numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量
双线性变换法
例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一
个3dB截频为p的数字滤波器，并与脉冲响应不变法 设计的DF比较。
解：设双线性变换中的参数为T
(1) 将DF的频率指标转换为AF的频率指标
p 2 p = tan( ) T 2
和 的关系
2 = tan( ) T 2
T = 2 arctan( ) 2
2 1 z s= 1 T 1 z
1
2 s z=T 2 s T
双线性变换法
双线性变换法的基本原理
稳定性分析
2 1 z s= T 1 z 1
令s=+j，则有
1
2 T s z= 2 T s
极点为s1=(0.5678 + 0.5654j)/T, s2=(0.5678 0.5654j)/T 利用
可得DF的系统函数为
0.3448 z 1T H ( z) = 1双线性变换法z 1 0.3212 z 2 0.9571
例：利用AF-BW filter及双线性变换法设计一DF，满足
2 p1 2 0
,
B p2
2 p2 2 0
} = 0.3714
s = 1
Ap1dB, As 10dB
例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器
p1=2.8113rad/s, p2=2.9880rad/s, p1dB , s1=2.9203rad/s, s2=2.9603rad/s, s 10dB
1. 将数字滤波器的频率指标{k}转换为 模拟滤波器的频率指标{k}
k 2 k = tan( ) T 2
2. 由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。 3. 利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。
H ( z) = H (s)
s=
2 1 z 1 T 1 z 1
双线性变换法
双线性变换法设计DF的步骤
N=1, c = p
(2) 设计3dB截频为p的一阶BW型模拟低通滤波器，即
故
1 1 = = H ( s) = s / c 1 s / p 1
1 sT 1 2 tan( p / 2)
例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一
个3dB截频为p的数字滤波器，并与脉冲响应不变法 设计的DF比较。
结论：参数T的取值和最终的设计结果无关。 为简单起见一般取T=2
例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一
个3dB截频为p的数字滤波器，并与脉冲响应不变法 设计的DF比较。
解：
双线性变换法设计的DF的系统函数为
H双 ( z) =
tan(p / 2)(1 z 1 ) 1 tan(p / 2) (tan(p / 2) 1) z 1
解:
模拟带阻指标
p1=6rad, p2=13rad, s1=9rad, s2=11rad,p1dB, s 10dB
(2) 将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标
B = s2 s1 = 2
0 = s1 s 2 = 9.9499
p = max{
B p1
双线性变换法
双线性变换 p= 0.3945 s= 15.0000
0
0.1
0.2
0.3
0.4 0.5 0.6 Normalized frequency
0.7
0.8
0.9
1
非低通IIR数字滤波器的设计
方法一
=/T
模拟频 率变换 设计原型 低通滤波器
p,s
2 = tan( ) T 2
解：设双线性变换中的参数为T
(3) 用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器
1 H ( s) = sT 1 2 tan( p / 2)
H ( z) =
tan(p / 2)(1 z 1 )
2 1 z 1 s= T 1 z 1
1 tan(p / 2) (tan(p / 2) 1) z 1
0.1 s
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DLF，满足
p=0.2p, s=0.6p, p2dB, s15dB
解：(3) 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器
0.5678j 0.5678j H a ( s) = s s1 s s2
1 T s si 1 e siT z 1
10 1 log10 ( 0.1 p ) s 10 1 =2 c = =0.8013 /T 0.1 s 1/ 2 N N (10 1) 2 log10 (s / p ) 0.6421 1 = H a ( s) = ( sT ) 2 1.1356 sT ) 0.6421 ( s 2 s ( ) 2 1 c c 双线性变换法
(2 / T ) 2 2 z = (2 / T ) 2 2
双线性变换法
双线性变换法的基本原理
稳定性分析
(2 / T ) 2 2 z = 2 2 (2 / T )
S域左半平面映射到Z域单位圆内
1) <0,
|z|<1
2) =0,
3) >0,
例：利用AF-BW filter及双线性变换法设计一DF，满足
p=0.2p, s=0.6p, p2dB, s15dB
解：
(3) 用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器
H ( z ) = H ( s)
2 1 z 1 s= T 1 z 1
0.1578 0.3155z 1 0.1578z 2 = 1 0.6062z 1 0.2373z 2
Amplitude
脉冲响应不变法存在频 谱混叠，所设计的DF不满 足给定指标。而双线性变 换法不存在频谱混叠，所 设计的DF满足给定指标。
双线性变换法
p =0.6p
1
0 0 0.6 Normalized frequency
例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一
个3dB截频为p的数字滤波器，并与脉冲响应不变法 设计的DF比较。 H双(z)和H脉(z)幅度响应比较的MATLAB实现 Wp=0.6*pi; b=[1-exp(-Wp)];b1=tan(Wp/2)*[1 1]; a=[1 -exp(-Wp)];a1=[1+tan(Wp/2) tan(Wp/2)-1]; w=linspace(0,pi,512); h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w); plot(w/pi,(abs(h)),w/pi,(abs(h1)) ); xlabel('Normalized frequency'); ylabel('Amplitude'); set(gca,'ytick',[0 0.7 1]); set(gca,'xtick',[0 Wp/pi 1]); grid;
10 1 log10 ( 0.1s ) s lg k sp 10 1 =2 c = N = = 0.1 s 1/ 2 N =0.5851 (10 1) lg sp 2 log10 (s / p ) 1 0.3423 H a ( s) = = 2 s 2 s ( ) 2 1 s 0.8275s 0.3423 c c
2 = tan( ) T 2 , p,s p s
设计模拟 滤波器
双线性变换
H(s)
H(z)
利用MATLAB [numd,dend] = bilinear(num,den,Fs)
H ( z) = H (s)
s=
2 1 z 1 T 1 z 1
num,den：AF分子、分母多项式的系数向量
双线性变换法
回顾内容
脉冲响应不变法的优缺点 优点： 1、数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性 =T 2、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器 的单位脉冲响应，时域特性逼近好。 缺点：存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设
计高通、带阻等滤波器。
双线性变换法
双线性变换法的基本原理
例：利用AF-BW filter及双线性变换法设计一DF，满足
p=0.2p, s=0.6p, p2dB, s15dB
将双线性变换法与脉冲响应不变法所设计DF的结果比较。
0 -5 -10 -15 -20
脉冲响应不变法
脉冲响应不变