从数学上，此问题便是代表偏好关系的一个连续效用函数的存在性问题。
人们可以证明：任何一个具备完备性、传递性与连续性的二元关系才能够被用一个连续实值函数来表达。可代表性并不依赖于凸性或单调性。但为了证明的简化，我们加上单调性。
定理1.1：代表偏好关系的实值函数的存在性
如果二元关系 是完备的、可传递的、连续的及严格单调的，那么，必存在一个连续的实值函数 代表偏好关系 。
7、如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理：
根据包络定理
例子：消费者的效用函数为 ，求希克斯需求函数和支出函数。
解：
构造拉格朗日函数，利用一阶条件，解得希克斯需求函数：
，
马歇尔需求函数与希克斯需求函数的关系：
Suppose that is a continuousutilityfunctionrepresenting a locally nonsatiatedpreferencerelation defined on theconsumptionset and the price vector is . We have
1、当且仅当 是严格单调的， 是严格递增的；
2、当且仅当 是凸的， 是拟凹的；
3、当且仅当 是严格凸的， 是严格拟凹的。
消费者选择
消费者选择能够支付得起的最优商品组合。
“支付得起”——预算集
“最优”——偏好关系
预算集：
消费者从预算集中选择最偏好的商品组合（点） ：
，且对于所有的 ，有 。
消费者从预算集中选择最大化效用函数的点 ：
作用：比较静态分析——参数或模型结构的变化对模型解的影响——价格变化或收入变化导致的解的变化： ，或
设 是消费者最大化问题的解，需求函数可导性的条件是：
效用函数二阶可导
某些或全部商品的边际效用大于零
效用函数的海赛加边矩阵有非零行列式
间接效用函数
直接效用函数：
间接效用函数：
间接效用函数的特征：
间接效用函数
②if is optimal in theexpenditureminimizationproblemwhen therequiredutilitylevelis , then is optimal in theutilitymaximizationproblem when wealthis . Moreover, themaximizedutilitylevel in thisutilitymaximizationproblem isexactly .
定理1.2：效用函数对正的单调转换的不变性
令 是 上的一个偏好关系，并设 是一个代表此偏好关系的效用函数。对于每个X，当且仅当 ——这里 ，在由 所确定的值集上是严格单调递增的，那么 也代表偏好关系。
定理1.3：偏好性质与效用函数
令 是 上的一个偏好关系，并设 是一个代表此偏好关系的效用函数，那么：
消费方案 ：
商品：
1)商品数量无限可分： ，商品数量是连续的。
2)商品数量非负：
3)商品种类为：
消费方案（选择方案，消费束）：
特征：
1、非空集( ,否则没有研究意义)
2、X闭集（连续性）
3、凸集
4、包含原点： （消费者可以选择不消费，这也是选择集合的下限）
2、可行集 （可选择的消费束）：制度约束、经济约束等限制之后仍保留下来的消费集合。
构造拉格朗日函数：
一阶条件：
二阶条件：加边海赛矩阵为负半定
解得马歇尔需求函数
例题：消费者的效用函数为 ，求马歇尔需求函数。
解：设商品1和商品ຫໍສະໝຸດ 的价格分别为 ，消费者收入为 。消费者的决策为：
构造拉格朗日函数：
最优解 满足一阶条件：
解得马歇尔需求函数：
消费者的最大效用为：
间接效用函数为：
定理1.5
马歇尔需求函数 的可导性：
不变和 上升
效用函数
由于偏好关系不便于进行数理推导，人们希望采用效用函数来代表偏好关系，从而简化消费者理论的分析。一个效用函数被定义为：
定义代表偏好关系 的效用函数
定义：实值函数 ，如果对于所有的 ，有 ，则该函数被称为反映偏好关系 的效用函数。
（即：如果一个效用函数分派一个较大的数给所偏好的消费束，那么该函数则代表了一个消费者的偏好关系。）
④⑤⑥
公理一：完备性公理：对于选择集 中任意的两个要素 和 ，有 或
含义：
消费者能够做出选择
消费者具有无限的认知能力
消费者具有无限的判断能力
公理二：传递性公理：对于选择集 中任何的三个要素 、 和 ，如果 和 ，则有 。
含义：
消费者的选择具有一致性
保证了消费者能够选择一个最偏好的商品组合
偏好关系
（弱）偏好关系：消费集 上的两元关系，如果满足公理一和公理二，就是偏好关系。
劣集 的定义：
证明间接效用函数 在 上拟凸，只需证明其劣集 为凸集。
在 中选两点，设 ， ，取 ，我们要证明
。也就是说，对于任何满足 的最优解 ，我们得证明 。
三种可能性：
和
6、间接效用函数
例题：
证明 满足间接效用函数的特征
支出函数
给定价格 实现某一效用水平 所需的最小支出：
最优解为希克斯需求函数 ，最小支出为
在效用最大化中，货币收入不变，马歇尔需求函数又被称为“货币收入固定的需求函数”。
支出函数 的特征
1.在 取最低效用水平时，支出函数 为零
2.在定义域 上连续
3.对于所有的 ，支出函数在 上递增并且无上界
4.在价格 上递增
5.在价格 上一阶齐次性
6.在价格 上为凹函数
7.如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理：
证明：
1、在 取最低效用水平时，支出函数 为零
取最低效用水平： ，即
支出函数
2、在定义域 上连续
3、对于所有的 ，支出函数在 上递增并且无上界
根据包络定理：
拉格朗日函数：
（一阶条件）
4、在价格 上递增
5、在价格 上一阶齐次性
6、 在价格 上为凹函数
固定效用为 ，取价格 ， ，设在价格为 时最优解为 ，支出函数为
高级微观经济学
课本：
参考书：
1)Andreu Mas-Colell，Michael D. Whinston and Jerry R. Green，1995，Microeconomic Theory，Oxford University Press；中译本：《微观经济理论》，经济科学出版社
2)David Kreps，1992，
1)在 上连续
2)在 上零阶齐次性
3)在 上严格递增
4)在 上严格递减
5)在 上拟凹
6)罗伊恒等式：如果 在 上可导，并且 ，有：
间接效用函数 的特征
1、间接效用函数在 上连续
p.505最大值定理：如果目标函数和约束条件在参数上连续，定义域为紧集，则值函数在参数上连续。
2、间接效用函数在 上零阶齐次性
①If is optimal in theutilitymaximizationproblem when wealth is , then is optimal in theexpenditureminimizationproblem when therequiredutilitylevelis . Moreover, theminimizedexpenditurelevel in thisexpenditureminimization problem isexactly .
在各种能够实现的消费方案中，消费者选择他最偏好的消费方案。
二、偏好关系和效用函数
Debreu (1959)
1、偏好关系
①、关系、两元关系
②、两元关系 的定义：定义在消费集 上，反映 中任意两个点之间的关系： ，如果有 ，则对该消费者而言，“ 至少和 一样好”，或者，“在 和 之间，消费者弱偏好 ”
③、偏好公理（实际上界定了消费者的理性状态。）
第一章：消费理论（关于消费者的行为研究理论。其研究方法有两种，其一是古典需求理论或者说偏好理论；其二是显示偏好理论）
1.基本概念
2.偏好关系和效用函数
3.消费者的优化问题
4.间接效用函数和支出最小化
5.需求的特征
一、基本概念
1、选择集（消费集合）
定义：所有可能的（能实现的和不能实现的）消费（选择）方案 的集合。
预算线与无差异曲线相切：
预算线的斜率：
无差异曲线的斜率：
解得马歇尔需求函数
2、假设效用函数 连续可导，可以用拉格朗日方法求消费者问题的解：
（1）、根据偏好关系的严格单调性定理，约束条件必然为
：预算平衡性定理
构造拉格朗日函数：
一阶条件：
二阶条件：加边海赛矩阵为负半定
解得马歇尔需求函数
（2）、不等约束条件下的极值Kuhn－Tucker定理：
支出函数 为：
两元空间支出最小化：
希克斯需求函数（补偿需求函数，或实际收入不变的需求函数）：效用函数 严格单调递增，所以有唯一的无差异曲线与 相对应，因此可以把所要实现的效用水平 写作 。
可以写为：
支出函数可以表述为在给定价格 下，实现消费束 所带来的效用，所需的最小支出。实际购买力用商品数量表示，所以支出函数又可以表述为在给定价格 下，实现实际购买力 所带来的效用，所需的最小支出。因此，希克斯需求函数又可以称为“实际购买力固定的需求函数”。
公理四‘：局部非饱和性公理：对于任何 ， ，始终存在着某个 ，有 。
含义：不存在任何消费束令消费者达到满足的极限，总有更为偏好的消费束存在。）
局部非饱和性使得与 无差异的消费集是一个(n-1)为空间，在二维空间中表现为一条直线。
公理四：严格单调性公理：对于所有的 ，如果 ，有 ；如果 ，那么