初高中数学衔接讲座曾劲松(深中校训)前言个人网站：www .sx 一、高中，我们将要学习哪些内容？（高中数学课程框架）●必修模块：●选修系列：网上可查看所有人教版的教材：/●必修课程(包括5个模块)数学1：集合、函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数）。

数学2：立体几何初步、平面解析几何初步。

数学3：算法初步、统计、概率。

数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换数学5：解三角形、数列、不等式。

●选修课程•系列1,由2个模块组成(文科)，•系列2,由3个模块组成(理科),•系列3,由6个专题组成(高考不考),•系列4,由10个专题组成(部分内容高考)。

▲系列1：由2个模块组成(文科)选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。

▲系列2：由3个模块组成(理科)选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何。

选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。

•选修2-3：计数原理、统计案例、概率。

▲系列3：由6个专题组成(高考不考)•选修3-1：数学史选讲。

•选修3-2：信息安全与密码。

•选修3-3：球面上的几何。

•选修3-4：对称与群。

•选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类。

•选修3-6：三等分角与数域扩充。

▲系列4：由10个专题组成。

•选修4-1：几何证明选讲(文\理)。

•选修4-2：矩阵与差分。

•选修4-3：数列与差分。

•选修4-4：坐标系与参数方程(文\理) 。

•选修4-5：不等式选讲(理,今年我省压轴题) 。

•选修4-6：初等数论初步。

•选修4-7：优选法与试验设计初步。

•选修4-8：统筹法与图论初步。

•选修4-9：风险与决策。

•选修4-10：开关电路与布尔代数。

数学1数学2数学3数学4数学5选修2-1选修2-2选修2-3选修4-1选修4-4选修4-5填空题，2选1总结：理科学习内容:数学1数学2数学3数学4数学5选修1-1选修1-2选修4-1选修4-4填空题，2选1总结：文科学习内容:二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接(预习之前应该做的事情)1．绝对值绝对值的概念始出现于初一数学课本，它是数学重要概念之一，贯穿于整个初等数学的始终，井随着知识的发展，不断深化．2010年广东省的最后一题便是一道绝对值不等式的问题。

【初中】借助数轴理解绝对值的意义，并会求有理数的绝对值（绝对值符号内不含字母）．【高中】含绝对值不等式在选修系列4—5不等式选讲．【建议】含字母的绝对值，简单的含绝对值的方程（不等式）的解法．高考你看看：（2010高考）21.（本小题满分14分） 设A （11,x y ），B （22,x y ）是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义由点A 到点B 的一种折线距离P （A,B ）为2121(,)A B x x y y ρ=-+- 对于平面xOy 上给定的不同的两点A （11,x y ）B （22,x y ）（1） 若点C （x,y ）是平面xOy 上的点，试证明p （A,C ）+p （C,B ）≥p （A,B ） （2） 若平面xOy 上是否存在点X （x,y ），同时满足① p （A,C ）+p （C,B ）=pA,B ）；②p （A,C ）= p （C,B ） 若存在，请求出。

本题考了：（1）∣a ＋b ∣≤∣a ∣＋∣b ∣；（2）∣a －b ∣≤∣a －c ∣＋∣c －b ∣.【高中练习示例】【高一前应掌握练习】【例1】解关于x 的不等式：|x －m|＜1. 【例2】解下列方程或不等式：（1）6|6||3||12|=-+--+x x x ．（2）|x +3|－|2x －1|＜2x+1．【例3】（1）不等式组⎩⎨⎧≤>ax x 2||恰好有三个正整数解，求a 的取值范围；（2）不等式组⎩⎨⎧≥-≠--0102|2|2x x 的所有解都满足不等式|||1|a x x +<+（a ＜1），求a 的取值范围．问题1：解不等式|x -1|<|x +3|二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接2．整式整式的变形是重要的代数式的恒等变形，也是高中数学中极其常见的运算．【初中】要求了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算，乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）；会利用平方差、完全平方公式进行简单计算；会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）．【高中】不再学习整式．【建议】1、乘法公式（1）立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+； （2）立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-； （3）三数和平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++；（4）两数和立方公式：2233333)(ab b a b a b a +++=+； （5）两数差立方公式：2233333)(ab b a b a b a +--=-．2、因式分解的新方法：（1）分组分解法；（2）十字相乘法；（3）求根法；（4）待定系数法．思考：分解因式：x 3-3x+2【高中练习示例】求证：函数y =x 3是增函数。

本题实质是：已知函数y =x 3的图象经过点),(11y x 与),(22y x ，且21x x <，求证：21y y <． 解：∵函数y =x 3的图象经过点),(11y x 与),(22y x ，∴311x y =，2y =32x ． ∴=-21y y 3231x x -=))((22212121x x x x x x ++-， ∵21x x <， ∴021<-x x ． 又43)2(22222121222121x x x x x x x x x +++=++ =043)2(22221>++x x x ，（由于21x x ≠，所以不能取等号）∴021<-y y ，即21y y <．【高一前应掌握练习】【例1】分解因式：（1）3832--x x ；（2）2265y xy x +-； （3）12267222--++-y x y xy x ．【例2】比较222c b a ++与ca bc ab ++的大小．【例3】把多项式2223++-x x x 表示成d x c x b x a +-+-+-)1()1()1(23的形式．问题2：对于任意实数x ，下列不等式都成立吗？为什么？02010802>+-x x二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接3．分式【初中】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算；会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）；能确定分式函数的自变量取值范围，并会求出函数值．【高中】不再学习。

高二选修中，有少量分式不等式的学习。

【建议】接触更复杂的分式运算（如分式拆分，分式乘方）；解可化为一元二次方程的分式方程．【例1】判断：函数1212)(+-=x xx f 是奇函数还是偶函数。

本题的实质是：比较1212+-x x与1212+---x x是相等，还是互为相反数。

【例2】(理科)椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求2211ba +的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．本题第（2）问的实质是：已知2211ba +=2， 222b ac -=2233≤≤a c 求a的取值范围。

解,322121131122222222≤≤⇒≤-≤∴-=a b a b a b a c又12222-=a ab26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a【高一前应掌握练习】【例1】已知函数132++=x x y ．（1）将它化为1++=x b a y （a ,b 为常数）的形式； （2）画出函数的图象，并说明当x ≥－2时，y 的取值范围． 练习：将1532+++=x x x y 化为d cx p n mx y +++=的形式． 【例2】解方程 21421224x x x x +-=+--． 【例3】（1）已知0>>b a ，求证：ba 11<．（2）已知0>x ，求证：21≥+x x ． 【例4】解下列不等式： 1313-≥-+x x ； 0322322<--+-x x x x ． 问题3：下列是一个同学觉得比较简单的题，请大家试试，你能全对吗：①当1≥x 时，x 1的范围是 ；②当1≤x 时，x1的范围是 ； ③当1-≥x 时，x 1的范围是 ；④当1-≤x 时，x1的范围是 ．二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接4．二次根式高中阶段，我们在学习函数、解析几何、数列等内容时，涉及到大量的与二次根式有关的计算．【初中】了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化)．【高中】会学习有理指数幂及运算。

【建议】根据需要，我们应掌握最简二次根式、同类根式的概念与运用，分子(母)有理化，简单的无理方程（不等式）．【高中练习示例】已知动点P （x,y ）满足：6)2()2(2222=+-+++y x y x 求点P 的轨迹方程。

本题的实质：化简该方程。

结果是：15922=+y x ，化简后马上就可以知道，点P 的轨迹是椭圆。

【高一前应掌握练习】【例1】化简：（1）21；（2）2323+-；（3）)2(424242422222>-++--++--+-++n n n n n n n n n ． 【例2】化简：（1）18211+．（2）2212(01)x x x +-<<．【例3】解方程：（1）012152=+-++x x x ；（2）1542=+--x x ；（3）0393253222=+++-+x x x x ．【例4】不等式x x ≥-2的解集是（ ）．A ．12≤≤-xB ．2≤xC ．1≤xD ．21≤≤x二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接5.二次方程（组）【初中】会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程．【高中】不再学习。

【建议】（1）理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；（2）掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用它求含有两根之和、两根之积的代数式的值，还能构造以、为根的一元二次方程；（3）能解决二元二次方程组的相关问题．20.（本小题满分14分）2010年广东高考题已知双曲线2212x y -=的左、右定点分别为12,A A ,点P （12,x y ），Q （12,x y -）是双曲线上不同的两个动点。