解 c=析2l:o(g252)=因lo为g5a4=∈lo(g02,(113),)则<0a,<bc=<(b13.故)-0选.1>B1., (3)因为a=log0.50.8<log0.50.5=1, b=log1.10.8<log1.11=0,c=1.10.8>1.10=1, 所以b<a<c.故选B.
规律方法 (1)比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间搭 桥法等. (2)当两个数都是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数 或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较. (3)比较多个数的大小时,先利用“0”“1”作为分界点,然后在各部分内 再利用函数性质比较大小. (4)含参数的问题,要根据参数的取值进行分类讨论.
②n>0 时,幂函数 y=xn 在(0,+∞)上递增,则任取 x>0,均有( 1 )x>( 1 )x,故②对; 23
③由于 y= log1 x=-log2x,则在同一坐标系中,y=log2x 与 y= log1 x 的图象关于 x 轴对称,
2
2
故③对;
④A=R,B=R,f:x→y= 1 ,但 A 中的-1,B 中无元素对应,故 f 不为 A 到 B 的映射,故④错;
四、幂函数、指数函数、对数函数的综合
【典例4】(1)若y=lg(x2+mx+1)的定义域为R,则实数m的取值范围是
;
(2)若函数y=lg(x2+2x+a2)的值域是R,则实数a的取值范围是
.
解析:(1)把题中条件进行等价转化,即x2+mx+1>0在R上恒成立. 即Δ=m2-4<0,得-2<m<2. (2)y=lg(x2+2x+a2)的值域为R,即x2+2x+a2的值包含一切正数. 即Δ=4-4a2≥0,a2≤1,得-1≤a≤1. 答案:(1)(-2,2) (2)[-1,1]
③在同一坐标系中,y=log2x 与 y= log1 x 的图象关于 x 轴对称;
2
④A=R,B=R,f:x→y= 1 ,则 f 为 A 到 B 的映射; x 1
⑤y= 1 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数. x
其中正确的命题的序号是
.
解析:(2)①可举偶函数y=x-2,则它的图象与y轴不相交,故①错;
规律方法 对数函数的定义域为R与值域为R是两个不同的问题.定义 域为R,是对数的真数大于0恒成立;而值域为R,则应转化为真数能取遍 所有正数.
2
2
2
象向右平移一个单位,再向上平移一个单位得到,所以定点(1,0)也是向右平移一个单位,
再向上平移一个单位.定点(1,0)平移以后即为定点(2,1),故函数 y=1+ log1 (x-1)恒过的
2
定点为(2,1).故选 C.
(2)下列命题: ①偶函数的图象一定与 y 轴相交;
②任取 x>0,均有( 1 )x>( 1 )x; 23
二、指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质
【典例 2】 (1)函数 y=1+ log1 (x-1)的图象一定经过点( )
2
(A)(1,1)
(B)(1,0)
(C)(2,1)
(D)(2,0)
解析:(1)因为函数 y= log1 x 恒过定点(1,0),而 y=1+ log1 (x-1)的图象是由 y= log1 x 的图
解:(1)原式=1+ 1 ×( 2 )- 3 =- 2 . 4 525
(2)原式=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5-3×log22-3=lg 2+lg 5-3×(-3)=1+9=10.
规律方法 (1)指数式的运算:注意化简顺序,一般负指数先转化成正指 数,根式化为分数指数幂运算. (2)对数式的运算:①注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价.②熟练 地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式,换底公式是对数计算、化 简、证明常用的技巧.
三、比较大小 【典例3】 (1)设a=40.1,b=log30.1,c=0.50.1,则( ) (A)a>b>c (B)a>c>b (C)b>a>c (D)b>c>a
解析:(1)因为a=40.1>1,b=log30.1<0, 0<c=0.50.1<1,所以a>c>b.故选B.
(2)已知a=log2 1 ,b=( 1 )-0.1,c=2log52,则a,b,c的大小关系为( ) (A)c<b<a (B)3 a<c<b 3 (C)b<a<c (D)b<c<a (3)设a=log0.50.8,b=log1.10.8,c=1.10.8,则a,b,c的大小关系为( ) (A)a<b<c (B)b<a<c (C)b<c<a (D)a<c<b
√)
8.幂函数图象可在直角坐标系第四象限出现.( × )
9.对数函数图象一定在y轴右侧.( √ )
主题串讲——方法提炼·总结升华
一、指数、对数的运算
【典例1】 计算下列各式:
1
(1)(2
3 5
)0+2-2·|-0.064|
1 3
-
9 4
2
;
(2)lg22+lg 2·lg 5+lg 5- 2log2 3 ·log2 1 . 8
章末总结
网络建构
知识辨析
判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”)
1.分数指数幂
m
an
可以理解为
m
个
a
相的图象一定在x轴的上方.( √ )
3.y=3·2x是指数函数.( × )
4.任何指数式都可以化为对数式.( × )
5.logaxy=logax+logay(a>0且a≠1).( × ) 6.y=x2与y=log2x互为反函数.( × ) 7.互为反函数的两个函数图象关于y=x对称.(
⑤可举
x x1=-1,x2=1,则
1 y1=-1,y2=1,不满足减函数的性质,故
y=
1
在(-∞,0)∪(0,+∞)上
x
不是减函数.故⑤错.故正确的命题的序号是②③.
答案:(1)C (2)②③
规律方法 (1)根据函数解析式判断函数的相关性质,如定义域、值域、 单调性、奇偶性等进行判断,也可根据函数性质进行排除干扰项而得到 正确结果. (2)根据函数解析式特征确定相关的基本初等函数,如指数函数、对数函 数、幂函数等,然后确定其平移变化的方向,从而判断函数图象. (3)指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0=1,loga1=0. (4)指数函数与对数函数都具有单调性,当0<a<1时,两者都是递减函数; 当a>1时,两者都是递增函数.