• 设 Φ = ΦΨ ，为了保证少量非相干的投 影包含精确重构信号的足够信息，矩阵 必 Φ ' 须满足受限等距特性(RIP)准则： Φ' • “对于任意具有严格T稀疏的矢量v,矩阵 都能保证如下不等式成立: ' 2 Φv • 2
'
1− ε ≤
v
2 2
≤ 1+ ε
• 式中 ε > 0 ，为限制等容常量”。 • RIP准则的等价情况是CS观测矩阵 Φ和稀 疏基矩阵 Ψ 满足非相干性的要求。相干系 数的定义为：
•
•
•
通过最小化l1范数将信号稀疏表示问题定义成一 类有约束的极值问题，进一步转化为线性规划 问题进行求解 。 （2）贪婪匹配追踪（MP）算法 ：从字典中一 个一个挑选向量，每一步都使得信号的逼近更 为优化。 （3）正交匹配追踪（OMP）算法：此算法选取 最佳原子所用的方法和MP算法一样，都是从冗 余字典找出与待分解信号和信号残余最为匹配 的原子。
X = ∑θψ i = ΨΘ i
i =1 N
• {ψ 1 ,ψ 2,...,ψ N } 是变换系数。 Θ 向量中只有k个 非零值，我们就称信号X在稀疏基 Ψ 下是 k-稀疏的。那么，怎样找到或构造适合一类 信号的正交基，以求得信号的最稀疏表示， 这是一个有待进一步研究的问题。 • 常用的稀疏基有：正(余)弦基、小波基、 chirplct基以及curvelet基等。 •
CS理论框图
可压缩信号
稀疏变换
观测得到M维Βιβλιοθήκη 向量重构信号第一：信号的稀疏表示
• 首先，信号X∈RN具有稀疏性或者可压缩性， 所以信号的稀疏表示就成为一个至关重要 的关键问题，直接关系到信号的重构精度。 • 设N时间信号x=[x(1),x(2),…,x(N)]T ∈RN通过 一组基 的线性组合表示: N {ψ i }i=1 •
min imize y − ΦΨα
2 2
• （3）按照下式求解出角度稀疏向量 α ：
+λ α
1
• （4）找出最大的几个峰值 α1 , α 2 ,..., αη • 并记录其位置K1 , K 2 ,..., Kη 。 • （5）按照下式计算波达方向： θi = K i × ∂ i i = 1, 2,...,η • • ∂ i 是角度估计精度。 •
µ = max < φi , ϕ j >
i≠ j
• 当相干系数较大时，矩阵间的相互关系就 较强。反之，当相干系数较小时，我 • 们就称矩阵间是非相干的。 •
• 常用的观测矩阵有高斯测量矩阵，二值随 机矩阵，局部傅里叶矩阵等等。
第三步：重构算法
• • • • • （1）OMP重构算法 定义µ = {u j | u j =|< r ,ϕ j >|, j = 1, 2,..., N } ，r为余量，ϕ j 为矩阵 Φ 的原子。 信号逼近与余量更新：
压缩感知理论（Compressive Sensing）
研究的背景与意义
• 随着信息处理技术的迅猛发展，对传感系 统获取信息能力的要求也越来越高。数据 量不断增加的同时，给信号的采样工作带 来了巨大的挑战。传统采样的依据是 Nyquist采样定理，即信号的采样频率必须 是信号带宽的2倍以上。然而随着信号的带 宽越来越宽，据此定理进行信号采样，必 然对采样率提出更高的要求，对信号处理 和硬件系统也带来了巨大的压力。
• 最近几年，研究人员在改变传统信号表示 方面取得了很大的进展。新的信号表示理 论的基本思想就是：基函数用称之为字典 的超完备的冗余函数系统取代，字典的选 择尽可能好地符合被逼近信号的结构，其 构成可以没有任何限制，字典中的元素被 称为原子。从字典中找到具有最佳线性组 合的m项原子来表示一个信号，称作信号的 稀疏逼近或高度非线性逼近。
• 若 rnew − r ≥ ε 2，令 r = rnew ，n=n+1，转至步 骤（2），否则停止迭代。 • 常用的重构算法还有很多，例如：ROMP 算法，SAMP算法等等。
CS理论在DOA估计的应用
阵元所接收到的信号的表达式是 s (t )
= u (t )e j (ω0t +ϕ ( t ))
实际应用中还有很多分解算法，就像分段 正交匹配追踪（StOMP）等等。
第二步：设计测量矩阵Φ
• 在压缩感知理论中，得到信号的稀疏表示 以后，设计一个测量矩阵Φ ，使得在该测 量矩阵上的压缩投影得到的M 个测量值能 够保留原始信号的绝大部分信息，使原始 信号的信息损失最小，从而保证从这些少 量的测量值中能够精确重构出长度为N (M << N)的原始信号。
• 两种算方法最大不同就是：OMP算法需要将所选 的原子用Gram-Schmidt正交化方法进行正交化处 理，然后将信号在这些正交原子所构成的空间上 投影，进而得到信号在各个已选原子上的分量和 残余分量；然后再用相同方法分解残余分量。经 过M次迭代分解，原信号就被分解为M 个原子的 线性组合。在每一次分解中，选取的最佳原子均 满足一定条件，所以残余分量随着分解过程迅速 衰减。这样经过有限次的迭代就可以收敛，用选 取的少量原子就可以表示了原始信号。
k = 1, 2,...K
l = 1, 2,...L
• 其中，K为角度参量搜索个数，L为阵元数。 • θ k 为要估计的波达方向参量，按照需要的 搜索精度均匀取值。 • 经过以上的分析可以总结出CS理论用于 DOA估计的步骤： • （1）建立如下的过完备字典：
• （2）按照下式计算出接收向量： y = ΦX (t ) = Φ ( S (t ) + N (t )) = ΦΨα + V
• 常用的正交级联字典有：时-频级联字典， 小波-正弦波级联字典等等。 • 有了正交基或者字典以后，就应该关心对 信号的分解方法。常用的分解算法： • （1）基追踪（BP）算法: • BP在过完备字典D中选择最优的M个原子 来使f 的M 项非线性逼近能达到最佳，这就 需要构造或确定一个最小化代价函数，再 利用优化算法挑选出一组最佳原子。然后
所以我们可以把字典原子设成
gγ = e j (ω0 ( t −τ li )+ϕ )
• τ li 表示第i个信号到达第l个阵元时相对于 • 参考阵元的时延。从图看出： (l − 1) d sin θi • τ li = c • 代入 gγ 得： •
gγ = e
j (ω0 ( t − ( l −1) d sin θ k )+ϕ ) c
• 能否降低信号的采样率 能否寻找新的信号描述方式与信 能否降低信号的采样率?能否寻找新的信号描述方式与信 号处理的方法?能否减少信号处理的成本 能否减少信号处理的成本?引起人们越来 号处理的方法 能否减少信号处理的成本 引起人们越来 越大的研究兴趣。 越大的研究兴趣。 • 目前，Candes。Romberg，Tao和Donoho等人提出了 目前， 。 ， 和 等人提出了 一种全新的理论一压缩感知理论(Compressed Sensing)。 一种全新的理论一压缩感知理论 。 该理论是一种崭新的信号采样、信号编码和信号解码理论。 该理论是一种崭新的信号采样、信号编码和信号解码理论。 采样速率不再像Nyquist速率一样，与信号的带宽密切相 速率一样， 采样速率不再像 速率一样 而是与信息在信号中的结构和位置息息相关。 关，而是与信息在信号中的结构和位置息息相关。编码过 程是围绕观测器即观测矩阵展开的， 程是围绕观测器即观测矩阵展开的，而解码过程是一个优 化计算过程。 化计算过程。该理论已经被证明能够用较低采样速率准确 的进行信号采样，并且能够以很高的概率重构原始信号。 的进行信号采样，并且能够以很高的概率重构原始信号。
X = arg min y − Φ ^ X
i∈R ^ ^ 2
rnew = y − Φ ^ X
^
• 具体步骤： • （1）初始余量 r0 = y ，迭代次数n=1，索引 值集合 Λ = ∅, J = ∅; • （2）计算相关系数u，并将u中最大值对应 的索引值放入J中； Λ • （3）更新支撑集 Φ ^， = Λ ∪ J 0 ； ^ • （4）应用上面的两个式子得到 X 与更新的 余量；