材 料 力 学·198· 第9章 构件/组合变形9.1 概 述前面章节讨论了杆件在拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲等基本变形形式下的应力和位移的计算等问题。

工程实际中的许多构件往往发生两种或两种以上基本变形，称为组合变形。

例如，钻探机钻杆（图9.1（a ））上端受到来自动力机械的力螺旋（力+力偶）作用引起的轴向压缩变形，下部受到来自泥土的分布力螺旋作用引起的扭转变形；蓄水堤（图9.1（b ））受自重引起的轴向压缩变形，同时还有水平的水压引起的弯曲变形；又如机械中齿轮传动轴（图9.1（c ））在啮合力作用下，将同时发生扭转变形以及在水平和竖直平面内的弯曲变形；再如厂房中支撑吊车梁的立柱（图9.1（d ））在由吊车梁传来的不通过立柱轴线的竖直载荷作用下，引起的偏心压缩变形，它可看成是轴向压缩和纯弯曲的组合变形。

图9.1 组合变形实例对于组合变形下的构件，在线弹性范围内，小变形条件下，可按构件的原始形状和尺寸进行计算。

因而，可先将载荷化为符合基本变形外力作用条件的外力系，分别计算构件在每一种基本变形下的内力、应力或变形。

然后，利用叠加原理，综合考虑各种基本变形的组合情形，以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点处的应力状态，并据此进行强度计算。

利用叠加原理进行组合变形构件的强度分析计算过程可概括为：（1）按引起的变形类型分解外力。

通常是将载荷向杆件的轴线和形心主惯轴简化，把组合变形分解为几个基本变形。

第9章 构件/组合变形·199· （2）分别绘出各基本变形的内力图，确定危险截面位置，再根据各种变形应力分布规律，确定危险点。

（3）分别计算危险点处各基本变形引起的应力。

（4）叠加危险点的应力。

叠加通常是在应力状态单元体上的进行。

然后选择适当的强度理论进行强度计算。

若构件的组合变形超出了线弹性范围，或虽在线弹性范围内但变形较大，则不能按其初始形状或尺寸进行计算，必须考虑各基本变形之间的相互影响，此时不能用叠加原理。

本章主要讨论在实际工程中常见组合变形：拉（压）弯组合、弯扭组合、斜弯曲等。

9.2 轴向拉伸（压缩）与弯曲的组合杆件受轴向拉伸（压缩）与弯曲的组合作用有两种情况：一种是轴向载荷与横向载荷的联合作用，另一种是偏心拉伸或压缩。

若杆受到轴向载荷作用的同时，又在其纵向平面内受到横向载荷的作用，这时杆件将发生轴向拉伸（压缩）与弯曲的组合变形。

对于弯曲刚度较大的杆件，由于横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小，原始尺寸原理可以使用，轴向力因弯曲变形而产生的弯矩可以省略不计。

这样，轴向力就只引起压缩变形，外力与杆件内力和应力的关系仍然是线性的，叠加原理就可以使用。

可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力，按叠加原理求其代数和，即得在拉伸（压缩）与弯曲组合变形下杆横截面上的正应力。

下面以图9.2所示的简支梁为例，说明杆受轴向载荷与横向载荷联合作用下的应力及强度计算方法。

该简支梁承受轴向载荷F 与横向均布载荷q 的联合作用。

轴向载荷F 使梁产生轴向伸长，引起各横截面的轴力均为F N =F （图9.2（c ））；横向载荷q 使梁发生在xy 平面 内的弯曲，跨中截面C 的弯矩最大，其值为2max /8C M M ql ==（图9.2（d ））。

显然，截面C 是危险截面（剪力引起的切应力通常忽略不计），如图9.2（b ）所示。

在危险截面上，由轴力F N 引起的正应力N F σ为N N F F Aσ=纵坐标为y 处，弯矩C M 引起的弯曲正应力M σ为 max M zM y I σ= 应用叠加原理，可得危险截面上任一点处的正应力（9.1）上式表明，正应力沿截面高度呈线性变化，且中性轴不通过截面形心。

截面底部边缘和顶部边缘处的正应力分别为（9.2）材 料 力 学·200·图9.2 拉弯组合变形实例及C 截面应力叠加分析式中，max c σ是压应力还是拉应力或是零，要视具体情况而定。

图9.3（e ）所示为max z M W ＞NF A的情形。

因为截面底部边缘和顶部边缘处均处于单向应力状态，当tmax σ和cmax σ确定后，即可由强度条件进行正应力强度计算,即 t max σ≤t []σ, c max σ≤c []σ （9.3）【例9.1】 小型压力机的铸铁框架如图9.3（a ）所示。

已知材料的许用拉应力[σt ] = 35 MPa ，许用压应力[σc ] = 170 MPa ，Z 0 = 85 mm ，44814410mm y I =×。

试按立柱的强度确定压力机的许可压力F 。

【解】：取截面n − n 上半部分为研究对象，其受力如图9.3（b ）所示。

由此可知压力机的立柱部分发生拉伸和弯曲的组合变形，像立柱这样受力情形有时称为偏心拉伸。

容易求得横截面n − n 上的轴力F N 和弯矩M y 分别为N F F = 485y M F =横截面上由轴力N F引起正应力为均布拉应力，且NN 2160mm 60mm 219200mm F F F F A σ===××（拉应力）图9.3 例9.1图（单位：mm ）第9章 构件/组合变形·201· 由弯矩M y 引起的最大弯曲正应力为0t max 448585MPa 814410y y My M z F I σ×==×,（拉应力） 1cmax4485135MPa 814410y y M y M z F I σ×==×,（压应力） 应用叠加法叠加以上内力引起的应力，可得n n −截面内侧的最大拉应力t max σ,并由强度条件计算许可压力N t max ,t max t 448585[]35MPa 19200814410F My F F σσσσ×=+=+=×≤ 求解得[]62700N 62.7kN F =≤同理可求得，n n −截面外侧的最大压应力c max σ,并由强度条件计算许可压力N c max ,c max c 4485135[]170MPa 19200814410y F M F F σσσσ×=+=−=×≤ 求解得[]226100N 226.1kN F =≤综上所述，为使压力机的立柱同时满足抗拉和抗压强度条件，[]62.7kN F ≤。

【例9.2】 悬臂吊车如图9.4（a ）所示，最大起吊重量为F = 28 kN 。

横梁AB 为工字钢制成，材料为Q 235钢，[σ] = 100 MPa 。

试选择工字钢型号。

【解】：横梁AB 的受力简图如图9.4（b ）所示，由平衡方程0A m =∑，得N sin 30 2.4 1.20AB F F °×−=i解得 N 28kN AB F F ==将N AB F 按图9.4（b ）所示分解为x F 和y F ，显然x F 使得横梁AB 轴向受压，y F 使得横梁AB 发生平面弯曲，可见横梁AB 发生轴向压缩与平面弯曲的组合变形，且cos30kN x F F == ， sin 3014kN y F F ==图9.4 例9.2图材 料 力 学·202· 由横梁AB 的受力图可看出，中间截面D 为危险截面。

最大压应力c max σ发生在该截面的上边缘，即为危险点。

为了计算方便，在开始计算时，可以先不考虑轴力的影响，只根据弯曲强度条件选取工字钢。

这时[]6333max 1.21410N mm 16810mm 168cm 100MPaz M W σ××==×=i ＞ 查附录型钢表，选取No.18工字钢，3185cm z W =，230.756cm A =。

选定工字钢后，同时考虑轴力F N 及弯矩M 的影响，再进行强度校核。

在危险截面D 的上边缘各点发生最大压应力，为36N max c max 223310N 1.21410N mm 98.7MPa []30.75610mm 18510mm zF M A W σσ××=+=+=××i ≤ 可见，选择No.18工字钢满足强度需要。

本题若还需考虑工字钢的自重，则应选什么型号的工字钢？请读者自行考虑。

【例9.3】 图9.5（a ）所示的高铁矩形截面桥墩立柱，单向行驶动车传递的铅垂压力P 的作用点位于y 轴上，P 、b 、h 均为已知。

试确定在桥墩立柱的横截面上不出现拉应力的最大偏心距e 。

【解】：将外力P 向C 截面形心平移，得作用线与立柱轴线重合的压力P 和作用于xy 平面内的力偶m P e =i 。

在P 和m 共同作用下，立柱BC 段产生压缩和弯曲的组合变形，如图9.5（b ）所示。

在轴向压力P 单独作用下，BC 段各横截面上的轴力均为N F P =−；在平面力偶m 单独作用下，BC 段各横截面上的弯矩均为z M Pe =。

可见，BC 段内的各横截面均为危险截面。

由轴力N F 引起的横截面上各点的压应力均相等，即N F P Aσ=−；由弯矩引起的横截面上的弯曲正应力沿截面高度按线性分布，横截面左边线（立柱BC 段左侧面）为最大拉应力，横截面右边线（立柱BC 段右侧面）为最大压应力，最大弯曲拉、压正应力,t max M σ、,cmax M σ其大小均为zPe W 。

应力分布分别如图9.5（c ）、图9.5（d ）所示。

图9.5 例9.3图第9章 构件/组合变形·203· 欲使BC 段任一横截面上不出现拉应力，应使P 与m 共同作用下横截面左侧边缘各点处叠加后的最大拉应力t max σ等于或小于零，即N tmax ,tm ax 0F M zP Pe A W σσσ=+=−+≤ 得 20/6P Pe bh bh −+ 解得6h e ≤，即6h e =为所求的最大偏心距。

由此可知，当压力P 作用在y 轴上时，只要偏心距6h e ≤，横截面上就不会出现拉应力。

由本例可推断，在截面上总可以找到一个区域（包含截面形心），当偏心力作用点位于此区域之内或其边界上时，横截面上只出现一种性质的应力（偏心拉伸时为拉应力，偏心压缩时为压应力）。

截面形心附近的这样一个区域就称为截面核心。

在工程上，常用的脆性材料（如砖、石、混凝土、铸铁等）抗压性能好而抗拉性能差，因而由这些材料制成的偏心受压构件，应当力求使其全截面上只出现压应力而不出现拉应力，即P 应尽量作用于截面核心区域之内。

9.3 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转组合变形是机械工程中常见的情况。

以图9.6所示一端固定的曲拐为例，说明弯曲与扭转组合变形的强度计算方法。

设拐轴AB 段为等圆杆，直径为d ，A 端为固定端约束。